第1章线性空间与线性变换

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1、矩阵分析简明教程矩阵分析简明教程矩阵分析简明教程本课程的主要内容1.矩阵理论：如线性空间、线性变换、内积空间、正交投影、Jordan标准型、矩阵分解、特征值、范数理论等；2.矩阵分析：如矩阵序列、矩阵级数、矩阵函数计算及其应用等；3.特殊矩阵：如正矩阵、非负矩阵、随机矩阵、M矩阵等。矩阵分析简明教程参考书1.MatrixAnalysis：R.A.Horn,C.R.Johnson,CambridgeUniversity；2.MatrixTheoryMatrixTheory：FZhangSpringerF.Zhang,

2、Springer-VerlagNewYorkInc；3.矩阵分析：史荣昌，魏丰，北京理工大学出版社；4.矩阵论(辅导讲案)：张凯院，徐仲，西北工大出版社。矩阵分析简明教程第一章线性空间与线性变换矩阵分析简明教程§111.1、线性空间的基本概念线性空间是线性代数最基本的概念之一，是矩阵论中极其重要的概念之一。它是向量空间在元素和线性运算上的推广和抽象。线性空间中的元素可以是向量、矩阵、多项式、函数等，线性运算可以是我们熟悉的一般运算，也可以是各种特殊的运算。矩阵分析简明教程一、从向量谈起对于平面R2中的任意向量，我们

3、已定义过加法及数乘两种运算，而且这两种运算是封闭的，即运算后的结果仍在R2中。而且这两种运算满足下面8条运算律：：2对、、Rk，、lR,成立(A1)加法交换律：，(A2)加法结合律：()()，矩阵分析简明教程2()(A3)具有加法单位元（零向量）R，使得(A4)2(A4)具有加法逆元（负向量）R，使得()(M1)数乘的结合律：kl()()kl(M2)数乘的单位元：1(D1)分配律1:kk()k(

4、D2)分配律2:(kl)kl矩阵分析简明教程根据线性代数的知识，二维空间R2显然可推广到n维向量空间n。并且数乘所依赖的实数域R也可R推广到复数域C。相应的向量空间分别称为实向量空间和复向量空间。我们知道，向量是特殊的矩阵。所有mn阶的实矩阵的集合mn对矩阵的加法和数乘封闭，并且也满R足上述8条运算律。因此也是“实向量空间”。不过这里的“向量”是实矩阵！！矩阵分析简明教程二、线性空间的概念定义定义1.1.11.1.1如果非空集合V对于加法及数乘两种运算封闭，并且对于加法和数乘满足下面8条运算律，那么

5、就称集合V为数域F上的线性空间或向量空间：对、、VklFRFC，、或,成立(A1)加法交换律：，(A2)加法结合律：()()，矩阵分析简明教程(A3)具有加法单位元（零向量）V，使得(A4)具有加法逆元（负向量）V，使得()(M1)数乘的结合律：kl()()kl(M2)数乘的单位元：1(D1)分配律1:kk()k(D2)分配律2:(kl)kl矩阵分析简明教程注意：这里我们不再关心元素的特

6、定属性，而且我们也不用关心这些线性运算（加法和数乘）的具体形式。例如：在正实数集Ra{

7、aaR0,}中定义加法“”和数乘“”运算如下：kabbkbabk,,aaa,bRkRbRkR,则RR是数域上的线性空间。矩阵分析简明教程例1数域F上的n维向量全体，按n维向量加法与n维Fn向量的数量乘法构成数域F上的线性空间F。例2数域F上mn阶矩阵全体，按矩阵的加法mn和数乘，构成F上的线性空间F。例3数域F上多项式全体按照多项式的加法以及数与多项式的乘法构成F上的一线性空间Fx[]。矩

8、阵分析简明教程例4数域F上次数小于n的一元多项式再添上零多项式按照多项式的加法以及数与多项式的乘法也构成上的线性空间FF[]xn问：数域F上次数等于n的一元多项式再添上零多项式按照多项式的加法以及数与多项式的乘法也构成上的线性空间吗？F例5区间[,]ab上全体连续实值函数全体按通常函数的加法和数与函数的乘法构成线性空间Cab[][,]矩阵分析简明教程例6齐次线性方程组Ax的所有解的集合构成数域R上的线性空间NA()，称为Ax的解空间，或矩阵A的核空间或零空间，即nmnNA(){xRA

9、,xAR}

10、KerA()nmn问：S{

11、,0xRAxbb,AR}?矩阵分析简明教程例7所有矩阵向量积Ax的集合构成数域R上的线性空间R()A，称为矩阵A的列空间或值域，也称为矩阵A的像，即mnmnR(A){yRyAxxRA

12、,,R}Im()AT例8集合VRV{[1{[xxxx,,1]],,xxR}}不是1212一个线性空间。因为加法