线性空间与线性变换内积空间课件.ppt

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1、课程概述《矩阵论》课程是专门为工科研究生开设的数学课程。《矩阵论》的内容是根据国家教育部课程指导委员会关于工科研究生数学课程教学的基本要求编写而成。《矩阵论》介绍的理论是现代数学的重要基础。《矩阵论》是工科研究生必备的核心基础知识，是工科研究生的必修课。I.先修课程《矩阵论》主要以大学《线性代数》为先修课程，可以同济大学数学系编著的《线性代数》教材书为参考书。《矩阵论》还以大学《高等数学》为先修课程，可以同济大学数学系编著的《高等数学》教材书为参考书。本课程假定读者已经学习过上述两门大学课程或已经掌握相关的知识。

2、II.主要内容课程主要包括以下六项内容：(1)线性空间与线性变换；(2)内积空间；(3)矩阵的标准形；(4)矩阵分解；(5)范数理论及其应用；(6)矩阵分析及其应用。第1章：线性空间与线性变换内容：线性空间的一般概念重点：空间结构和其中的数量关系线性变换重点：其中的矩阵处理方法特点：研究代数结构——具有线性运算的集合。看重的不是研究对象本身，而是对象之间的结构关系。研究的关注点：对象之间数量关系的矩阵处理。学习特点：具有抽象性和一般性。一.集合与映射集合集合：作为整体看的一堆东西.集合的元素：组成集合的事物.设S

3、表示集合，a表示S的元素，记为a∈S读为a属于S；用记号aS表示a不属于S.集合的表示：(1)列举法51.1线性空间(LinearSpaces)例如空集合：不包含任何元素的集合，记为子集合：设表示两个集合，如果集合都是集合的元素，即由，那么就称的子集合，记为相等：即(2)特征性质法6集合的交：集合的并：集合的和：例如数域数域：是一个含0和1,且对加，减，乘，除（0不为除数）封闭的数集.7例如：有理数域Q，实数域R，复数域C.映射映射：设S与S’是两个集合，一个法则（规则），它使S中的每个元素a都有S’中一个确定

4、的元素a’与之对应，记为称为集合S到S’的映射，a’称为a在映射下的象，而a称为a’在映射σ下的一个原象.8变换：S到S自身的映射.例如：将方阵映射为数将数映射为矩阵可看成变换。其中相等：设都是集合S到的映射，如果对于都有，则称相等，记为.9乘法：设依次是集合S到，的映射，乘积定义如下是S到的一个映射.注：，（是的映射）二、线性空间的概念线性空间=集合+两种运算（所成完美集合）ExampleR3={x=（x1，x2，x3）T：xiR}={空间中所有向量}定义向量的加法，数与向量的乘积。运算封闭八条运算律成立线性

5、空间=集合+两种运算（所成完美集合）Definition:(线性空间或向量空间)要点：集合V与数域F向量的加法和数乘向量运算（运算之后的结果跑不出去）八条运算律（能够保证向量的混合运算几乎与数的运算一样完美）常见的线性空间Fn={X=（x1，x2，…，xn）T：xF}运算：向量加法和数乘向量Fmn={A=[aij]mn：aijF}；运算：矩阵的加法和数乘矩阵Rmn；Cmn。F[t]n={f(x)=a0+a1x+a2x2+...+an-1xn-1：aiR}运算：多项式的加法和数乘C[a，b]={f（x

6、）：f（x）在[a，b]上连续}运算：函数的加法和数乘Example：V=R+，F=R，ab=ab，a=aF=R或C不是线性空间的集合V={X=（x1，x2，1）T：xiR}运算：向量加法和数乘向量要证明一个集合不是线性空间，定义中有很多漏洞可以攻击。线性空间的一般性的观点：线性空间的简单性质（共性）：（1）V中的零元素是惟一的。（2）V中任何元素的负元素是惟一的。（3）数零和零元素的性质：0=0，k0=0，k=0=0或k=0（4）=（1）数0向量0三、向量组的探讨（Review)向量的

7、线性相关与线性无关：向量可由1，2，…，s线性表示;（其工作可由多人合力完成）向量组1，2，…，s线性无关任何一个向量不能由其余向量线性表示要使k11+k22+…+kss=0,只有系数都为0向量组1，2，…，s线性相关其中一个向量可以由其余向量线性表示要使k11+k22+…+kss=0,必须有非零系数三、向量组的探讨（Review)向量组的极大线性无关组：1，2，…，s为向量组A的一个部分组（精英组合）满足向量组1，2，…，s线性无关（彼此工作不可替代）任意A的向量可以

8、由1，2，…，s线性表示（公司的任何人的工作可由精英组合完成）向量组的秩(rank)：最大无关组中向量的个数四、线性空间的基和维数抽象的线性空间的元素称之为向量(vector)所有的线性空间中的向量的线性相关性定义和Rn一样：定义形式和向量空间Rn中的定义一样。有关性质与定理和Rn中的结果一样。因此，要研究线性空间，只需要研究它的最大线性无关组----即为基(bas