6线性空间与线性变换.ppt

《6线性空间与线性变换.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、第六章线性空间与线性变换第一节　线性空间的定义与性质第二节　维数、基与坐标第三节　基变换与坐标变换第四节　线性变换第五节　线性变换的矩阵§6.1线性空间的定义与性质定义1设V是一个非空集合，R为实数域，如果对任意两个元素∈V，总有唯一的一个元素∈V与之对应，称为的和，记作；对于任一个数k∈R与任一个元素∈V，总有唯一的一个元素∈V与之对应，称为k与的积，记为两种运算满足以下八条运算规律（对任意∈V,∈R）：返回上一页下一页V就称为R上的向量空间(或线性空间),V中的元素称为(实)向量(上面的实数域R也可为一般数域).(3)在V

2、中有一个元素0(叫做零元素)，使对任何∈V，都有；(4)  对任何∈V，都有V中的元素,使（称为的负元素）；返回上一页下一页凡满足上面八条运算规律的加法及数量乘法，称为线性运算；凡定义了线性运算的集合，称为向量空间（或线性空间）。向量不一定是有序数组；向量空间V对加法与数量乘法（数乘）封闭；向量空间中的运算只要求满足八条运算规律，不一定是有序数组的加法及数乘运算。注意：例实数域R上次数不超过n的多项式的全体，记为P[x]n，即P[x]n={anxn+…+a1x+a0

3、an,an-1,…a1,a0∈R}P对于通常的多项式加法、多

4、项式数乘构成R上的向量空间。返回上一页下一页例实数域R上次数n的多项式的全体，记为W，即W={anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0

5、an,an-1,…a1,a0∈R，且an≠0}。W对于通常的多项式加法、多项式数乘不构成R上的向量空间。例n个有序实数组成的数组的全体Sn={x=(x1,x2,…xn)

6、x1,x2,…xn∈R}对于通常的有序数组的加法及如下定义的数乘k•(x1,x2,…,xn)=(0,0,…,0)不构成R上的向量空间。返回上一页下一页因为0(anxn+…+a1x+a0)=0W，即W对数乘不封闭。因为1x

7、=0，不满足运算规律（5）对数乘封闭：对任意k∈R,a∈R＋，有k·a＝ak∈R＋；例正实数的全体，记作R＋，定义加法、数乘运算为ab=ab(a,b∈R＋)，k·a=ak（k∈R,a∈R+）.验证R+对上述加法与数乘运算构成R上的线性空间.证实际上要验证十条.对加法封闭：对任意a,b∈R＋，有ab＝ab∈R＋；(3)R+中的元素1满足：（1叫做R+的零元素）；返回上一页下一页(4)对任何a∈R+，有（a-1叫做a的负元素）；因此，R＋对于上面定义的运算构成R上的线性空间.返回上一页下一页性质１零元素是唯一的。假设01,02是线

8、性空间V中的两个零元素，即对任何∈V，有＋01＝，＋02＝，于是特别有02＋01＝02，01＋02＝01故　　01＝01＋02＝02＋01＝02性质２任一元素的负元素是唯一的。（的负元素记作）假设有两个负元素与，即返回上一页下一页于是性质３因为所以又因为所以而返回上一页下一页定义2R上线性空间V的一个非空子集合W,如果对于V的两种运算也构成数域R上的线性空间，称W为V的线性子空间（简称子空间）。定理1线性空间V的非空子集W构成V的子空间的充分必要条件是W对于V中的两种运算封闭。性质4如果,那么或者。假设，那么返回上一页下一页例

9、在全体实函数组成的线性空间中，所有实系数多项式组成V的一个子空间.§6.2维数、基与坐标如果在V中可以找到任意多个线性无关的向量，那么V就称为无限维的。维数为n的线性空间称为n维线性空间，记作Vn。(2)V中任一元素都可由线性表示，那么，就称为线性空间V的一个基，n称为线性空间V的维数。(1)线性无关；返回上一页下一页定义3在线性空间V中，如果存在n个元素满足：这样，Vn的元素与有序数组(x1,x2,…xn)之间存在着一种一一对应关系，因此可用这组有序数来表示α.若知为V的一个基，则对任何，都有一组有序数x1,x2,…xn使：

10、并且这组数是唯一的(否则线性相关)。反之，任给一组有序数x1,x2,…xn，可唯一确定Vn中元素：返回上一页下一页定义4设是线性空间Vn的一个基，对于任一元素，有且仅有一组有序数x1,x2,…xn使x1,x2,…xn这组有序数就称为在基下的坐标，记作(x1,x2,…xn)。返回上一页下一页例在线性空间P[x]3中，就是P[x]3的一个基，P[x]3的维数是4，P[x]3中的任一多项式可写成因此f(x)在基下的坐标为返回上一页下一页返回上一页下一页于是返回上一页下一页在线性空间Vn中取定一个基，则Vn中的向量与n维数组向量空间R

11、n中的向量(x1,x2,…xn)之间有一个一一对应的关系，且这个对应关系保持线性组合的对应，即设一般地，设V与U是R上的两个线性空间，如果在它们的元素之间有一一对应关系，且这个对应关系保持线性组合的对应，那么就说线性空间V与U同构。返回上一页下一页Vn与Rn有相同的结构，称为