第1章_线性空间与线性变换.ppt

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1、第1章线性空间与线性变换1.1线性空间定义1.1.1设是非空集合，P是数域.在中定义了两种代数运算，1.加法:就是给定了一个法则“+”，对于中的任意两个元素，在中都有唯一的元素与它们对应称为与的和，记为加法运算满足以下四条规则：⑴；⑵；⑶V中存在一个元素“0”，满足，其中，称“0”是V的零元素；⑷对任一，存在，使得，称是的负元素；2.数乘:就是给定了一个法则,对V中任一元素和数域P中任一数k，在V中都有唯一的元素与它们对应称为与k的数乘，记为数乘满足以下两条规则：⑸⑹⑺⑻数乘和加法满足以下两条相容性规则：对加法

2、、数乘两种运算满足⑴―⑻条规则的非空集合V，称为定义在数域P上的线性(向量)空间，V中的元素称为向量.例1.1.1例1.1.2例1.1.3例1.1.4例1.1.5注意：数域、两种运算如何定义的影响定理1.1.11.1.2基、坐标定义1.1.2设是线性空间V中的非空子集合，方程(1.1.1)如果仅有平凡解，称S是线性无关的；如果方程有非平凡解，则称S是线性相关的。例1.1.6例1.1.7定义1.1.3设在数域P上的线性空间V中有非空子集满足以下条件:⑴是线性无关向量组；⑵中任一向量都是中向量的线性组合.称是的一个

3、基（底），称为的基向量，中向量的个数，称为线性空间的维数,记为。维数是n的线性空间V称为n维线性空间，记为假如V中存在任意多个线性无关的向量时，称V为无限维线性空间.如果是的一个基，那么对于V中的任一向量可写成的线性组合.注：定义1.1.3描述的基在线性空间中不唯一.定义1.1.4设是线性空间的一个基（底），是中的一个向量，而且(1.1.4)称是向量在基下的坐标，且.定理1.1.2在n维线性空间中，任一向量在一个基下的坐标唯一.这说明，当线性空间的基S取定后，中任一个向量的坐标是确定的,即假设是的一个基，是中的

4、一个向量，就有与之间的一一对应，因此当基确定以后，我们常常用坐标来代替向量.记定义1.1.5设与同为域上的两个线性空间，若与的元素之间可以建立一一对应关系，即，且当时，有称在数域P上的线性空间与是同构的，并且称这种对应关系是与的同构对应.显然，数域P上的任何n维向量空间与同构.例1.1.8例1.1.91.1.3基变换与坐标变换(1)基变换和是线性空间的两个基,由于也是中的向量，所以可以用的线性组合表示.设：（1.1.9）上式用矩阵可以写成(1.1.10)(1.1.9)式称为中两个基的变换公式.矩阵P称为从到的过

5、渡矩阵.由于和都是线性无关向量组，所以P是可逆矩阵即,过渡矩阵P的第j列是在S下的坐标向量.例1.1.10（2)向量的坐标变换定理1.1.3设向量，在基下的坐标是;在基下的坐标是假设从到的基满足关系式(1.1.10)，那么坐标x与y满足关系式(1.1.11)即(1.1.12)例1.1.11例1.1.121.2线性空间的子空间1.2.1线性子空间定义1.1.2设W是线性空间V的非空子集，如果W对V中所定义的加法和数乘两种运算满足以下条件：⒈如果，则；⒉如果，则则称W是V的线性空间的子空间.容易验证，线性子空间W也

6、是线性空间。线性空间V和由单个零向量构成的非空子集{0}都是V的子空间.{0}称为V的零子空间；V和{0}叫做线性空间V的两个平凡子空间，其他子空间叫做非平凡子空间.图1.2.1中直线l，平面是的两个线性子空间，而在图1.2.2中由于直线m和平面不含原点所以不能形成的子空间。图1.2.1图1.2.2由于零子空间不含线性无关的向量，因此没有基，它的维数规定为零。而对于V的其它的子空间，由于它的线性无关的向量个数不可能比整个线性空间线性无关的向量个数多，所以子空间的维数比原空间的维数小，即下面讨论子空间的生成问题。

7、设是数域P上的线性空间V中的一个向量组，在P中任取m个数，做S中向量的线性组合(1.2.1)显然，这样全体的集合，我们表示成容易验证，W对V中定义的加法和数乘运算是封闭的，所以W是V的线性子空间.这个子空间称为由V中向量生成的线性子空间，记为(1.2.2)假如S是线性无关组，那么，；如果S是线性相关组，S中的最大线性无关向量是S的一部分.不妨设前r个向量线性无关，令，W也可写成即定理1.2.1设W是数域P上线性空间的一个m维子空间，是W的基，则W的向量一定可以扩充为的一个基。定理1.2.2设和是线性空间V的两个

8、子空间，则它们的交是V的子空间，称为和的交空间.定理1.2.3设和是线性空间V的两个子空间，则它们的和是V的子空间，称为和的和空间.例1.2.3假如那么它们的和定理1.2.4(维数公式)设和是的两个线性子空间，则推论1如果n维线性空间的两个子空间和的和空间维数小于和维数之和，那么它们的交空间一定含有非零向量，即例1.2.4定义1.2.2如果中任一向量只能唯一的表示成子空间的一个向量和子