正项级数比值判别法的一个典型例题及变化.pdf

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1、正项级数比值判别法的一个典型例题及变化例1判断下列级数的收敛性。nnnn!2n!3ne!①n②n③nn1nn1nn1nn1nnan1!2n2n22n1解：①因为limlimlimlim1n1nnnnann1n!2nn1n1en1nnn!2由比值判别法知，级数n收敛。n1nn1nnan1!3n3n33n1②因为limlimlimlim1n1nnnnann1n

2、!3nn1n1en1nnn!3由比值判别法知，级数n发散。n1nn1nnan1!eneneen1③因为limlimlimlim1，比值判别n1nnnnann1ne!nn1n1en1n法失效。下面另求它法。nn1nnne!an1!enenen1方法一：令a，则1，得nnn1nnnnann1ne!n111naaa2，n2,3,

3、n1n1nne!即数列an单调递增，所以liman0，由收敛级数的必要条件知，n发散。nnn1nnne!ne!方法二：令a，由斯特林公式：lim2nnnnnnnnne!可得lima=limn0nnnnnnnne!由收敛级数的必要条件知，n发散。n1n由此例题，我们联想到下面的例题。nn例2判断级数n的收敛性。n1ne!nnnne!解：令a，由斯特林公式：lim2nne!nnnnnnann11n可得lim

4、=limn20，而是p的p级数，发散。n1nne!n1n2nnn由正项级数的比较判别法知，n发散。n1ne!进一步，容易想到下面的变化，可以练习思考求解。例3判断下列级数的收敛性。nnnn①n②nn1n!2n1n!3nna!例4判断级数n的收敛性，其中a0。n1nnn例5判断级数n的收敛性，其中a0。n1na!