正项级数收敛的判别法 一个比较精细的正项级数判别法

《正项级数收敛的判别法 一个比较精细的正项级数判别法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、正项级数收敛的判别法一个比较精细的正项级数判别法一个比较精细的正项级数判别法∞摘要：本文用级数∑n=31nlnpn做比较标准，得到一个比拉阿比判别法更为精细又应用方便的判别法，笔者称之为“对数判别法”。关键词：比较判别法级数判别法的极限形式拉格朗日中值定理9对数判别法目前较常用而又精细的正项级数判别法是拉阿比判别法，然而此判别法有时精确度仍∞然不够。以下本文就以级数∑1pn=3nlnn做比较标准，得到一个比拉阿比判别法更为精细又应用方便的判别法——“对数判别法”。∞我们先看级数∑n=31nlnpn的敛散性：当p>1时级数收敛

2、；当p≤1时级数发散。这个结论可用柯西积分判别法证明（具体证明请参见邓东皋、尹小玲编著《数学分析简明教程》），本文不再细述。先考虑发散的情况。由比较判别法有：设数列{un}是正项数列，若n足够大时，有unun+1(n+1)ln(n+1)nln9n∞成立，则∑un发散。n=1为了应用方便我们来寻求像拉阿比判别法那样的“极限形式”：unun+1(n+1)ln(n+1)nlnn⇔nun(n+1)un+1-1ln(n+1)-lnnlnn，由拉格朗日中值定理知，对任意n，存在ξn∈(n,n+1)，使得ln(n+1)-lnn=1ξn,故

3、unun+1(n+1)ln(n9+1)nlnnnun(n+1)un+1⇔ξnlnn[nun(n+1)un+1-1]要使n足够大时有ξnlnn[-1]1limξnlnn[n→∞nun(n+1)un+1nun-1]而显然limn→∞ξnn∞=1，故当limnlnn[n→∞(n+1)un+1-1]n=1收敛的情况可类似讨论：设数列{un}是正项数列，若存在p>1使得n9足够大时，有unn+1)]pu>(n+1)[ln(n+1n(lnn)p∞成立，则∑un收敛。n=1因为upppnnnu>(n+1)[ln(n+1)]n+1n(lnn

4、)p⇔nu(n+1)u-1>ln(n+1)9-lnn+1lnpn，由拉格朗日中值定理知，对任意n，存在ξn∈(n,n+1),使得ln(n+1)p-lnnp=p[lnξn]p-1ξ,npp-1故unu>(n+1)[ln(n+1)]nξp-1n+1n(lnn9)p⇔nlnn[nu(n+1)u-1]>pn[lnξn]n+1n[lnn]，p-1要使n足够大时有nlnn[nun(n+1)u-1]>pn[lnξn]p-1n+1ξn[lnn]成立，只需limnlnn[nun>limpn[lnξn]p-1n→∞(n+1)u-1]n+1n→∞

5、ξ]p-1=p，n[lnn若limnlnn9[nun1+sn→∞(n+1)u-1]=s>1，取p=2>1,就有n+1limnlnn[nun-1]>limpn[lnξpn]n→∞(n+1)un+1n→∞ξpn[lnn]=p，∞故当limnlnn[nunn→∞(n+1)u-1]=s>1时，∑un收敛。n+1n9=1综合上述，得到下面的定理2∞定理（“对数判别法”）：设正项级数∑un满足：n=1limnlnn[nun-1]=s，n→∞(n+1)un+1∞则（1）当s>1时，∑un收敛n=1∞（2）当sn=1参考文献：《数学分析简明

6、教程》，邓东皋、尹小玲编著，高等教育出版社，1999年6月39