关于正项级数收敛性的判别法

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1、关于正项级数收敛性的判别法Onconvergenceofserieswithpositiveterms22摘要正项级数作为级数理论中最基本的一类级数，它的敛散性的判定是级数理论的核心问题。正项级数的敛散性判别方法有很多，本文对正项级数敛散性的各种判别法的特点与联系作了简单、系统的归纳与剖析。正项级数不仅有一般级数收敛性的判别法，也有许多常用的和一些新的收敛性的判定方法，如比较判别法、柯西判别法、达朗贝尔判别法、拉贝判别法和对数判别法等，但运用起来有一定的技巧，需要根据对不同级数通项的特点进行分析，选择适宜的方法进行判定，这样才能够最大限度

2、的节约时间，提高效率，特别是对于一些典型问题，运用典型方法，更能事半功倍。关键词：级数；正项级数；收敛；发散。22AbstractDeterminingwhetherornotaseriesisconvergentintheseriestheoryisthecoreissue.Therearemanywaystodetermineifapositiveseriesisconvergent.Thisthesismakesfullanalysisfortheconvergencedeterminationmethodsforpositives

3、eries.Therearemanycommonandsomenewconvergencedeterminationmethods,suchascomparisoncriterion,Cauchycriterion,d'Alembertcriterion,LogCriterionandRabeCriterionandothermethods.Butusingwhichofthesemethodsneedscertainskills,needstoanalyzethegeneralitemsoftheseries.Alotoftimecan

4、besavedifanappropriatemethodisused.Keywords:Series;positiveseries;convergence;divergence.22目录摘要IABSTRACTII目录III引言11基础知识21.1无穷级数的定义21.2无穷级数的部分和21.3无穷级数收敛的定义22正项级数敛散性的常用判别法32.1柯西收敛原理[1]32.2基本定理32.3比较判别法32.4达朗贝尔判别法42.5柯西判别法42.6积分判别法52.7阿贝尔判别法52.8狄利克雷判别法53正项级数敛散性的一些新的判别法63.1定

5、理1（比较判别法的推广）63.2定理2（等价判别法）63.3定理3（拉贝判别法）[3]73.4定理4（高斯判别法）[5]83.5定理5（库默尔判别法）[3]83.6定理6（对数判别法）[4]93.7定理7（隔项比值判别法）[3]103.8定理8（厄尔马可夫判别法）[4]103.9定理9（推广厄尔马可夫判别法）[4]104正项级数敛散性判别法的比较125应用举例166总结与展望20参考文献21致谢2222　引言在数学分析中,数项级数是全部级数理论的基础,主要包括正项级数和交错级数,而正项级数在各种数项级数中是最基本的,同时也是十分重要的一类

6、级数。判别正项级数的敛散性是研究正项级数的主要问题,并且在实际中的应用也比较广泛，如正项级数的求和问题等。所以探讨正项级数敛散性的判别法对于研究级数以及对于整个数学分析的学习与理解都有重要的作用。因此，本文打算对正项级数的各种重要的敛散性判别法及特点与联系作了简单、系统的归纳与剖析。首先，正项级数作为数项级数的一个重要组成部分，数项级数收敛性的判定方法对正项级数也是适用的，如数项级数收敛性的概念和柯西收敛原理等。其次，正项级数也有许多常用的和一些新的收敛性的判定方法，如柯西判别法、达朗贝尔判别法、柯西积分判别法、拉贝判别法和对数判别法等，

7、但运用起来有一定的技巧，需要根据对不同级数通项的特点进行分析，判断选择适宜的方法进行判定，这样才能够最大限度的节约时间，提高效率，特别是对于一些典型问题，运用典型方法，更能事半功倍。22　1基础知识1.1无穷级数的定义一系列无穷多个数写成和式就称为无穷级数，记为。如果，那么无穷级数就称为正项级数。1.2无穷级数的部分和对任何一个无穷级数，我们总可以作出一个数列，并称为级数的次部分和（简称部分和），称数列为级数的部分和数列。1.3无穷级数收敛的定义若级数的部分和数列收敛于有限值S，即则称级数收敛，记为并称此值为级数的和数。若部分和数列发散，

8、则称级数发散。当级数收敛时，又称为级数的余和。22　2正项级数敛散性的常用判别法2.1柯西收敛原理[1]级数收敛的充要条件是：对任意给定的正数，总存在，使得当时，对于任意的正整数，都成立着对于