种不常见的正项级数收敛性判别法

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1、三类不常见的正项级数收敛性判别法赖宝锋积分判别法，对数判别法，拉贝判别法是三种重要的积分判别法，但不在大纲所规定的考核范围之内。尽管如此，这里仍然要详细地叙述下这三大判别法，以及其中所体现的思想方法，并用一些例子来说明这三种判别法。先介绍积分判别法。先建立如下三个简单的引理。引理1设为上的一个单调递增函数，则存在当且仅当有界。证明：先证明必要性。假设存在，记。则存在一个，当时，有，于是。又单调递增，因此，。于是，有界。充分性，若有界，则为单调有界函数，极限必存在。得证！引理2设为上的一个单调递增函数，则存在当且仅当有界。证明：必要性显然。充分性：，，。再由的有界性就知道了。引

2、理3设为上的非负可积函数。则收敛当且仅当有界，当且仅当有界。证明：收敛当且仅当存在。由于非负，因此，是单调递增的。由引理1，收敛当且仅当有界；由引理2，收敛当且仅当有界。这样，结论得证！定理1(积分判别法)假设数列满足：且单调递减。假设存在一个上的非负的单调递减的可积函数，使得。则的收敛性与广义积分是一致的。11证明：记部分和为，即另一方面，这样，。这样，若收敛，即有界，即收敛，则收敛，即收敛。若收敛，即有界，则有界，即收敛。这个判别法的证明方法的几何意义是很清楚的，就是曲边梯形的内接矩形面积小于曲边梯形面积，曲边梯形面积又小于其外接矩形的面积。见图1：图1注1：积分判别法中

3、，数列单调性可以放宽为某一项以后单调。由于级数是否收敛与前几项无关，因此，即使某一项以后才保持单调递减性，级数仍然收敛。下面用积分判别法解决两个问题。例1.判别级数的收敛性。11解答：当，，级数自然是不收敛的。当，，级数也不收敛。当，广义积分当时收敛，当时发散。于是，时，级数收敛。当时，级数发散。综合起来看，，级数发散。，级数收敛。例2.判别级数的收敛性。解答：通过研究函数可知，数列在某一项以后就是单调递减的了。由于广义积分当收敛，当发散。于是，级数当收敛，当发散。定理2.假设数列满足，且(包括)。则：(1)若，级数收敛。(2)若，级数发散。(3)若，此法失效。证明：若，则对

4、任意，存在，使得当，有，于是，即，于是，。由于，因此级数收敛。若，与上面方法一样，只需任取一个，则存在一个，当，有。下同。若，则对任意，存在，使得当，有11，于是，即，。由于，因此级数发散，因此级数发散。若，我们取，则，但是发散的。另一方面，我们又取，其中。则。由积分判别法，有收敛。因此，当，此法失效。下面用对数判别法练习几个例题。例题3.判断的敛散性。解答：于是，收敛。例题4.判断的敛散性。解答：为单调递减函数，于是这样，，即11，于是这样，这样，于是，。因此，级数收敛。11注2：我们在这里还是利用了放缩的方法。我们中间得到了这样一个不等式：由于于是，由于，于是注意到，于是

5、，。再由，，可知。于是，。例题5.判别级数的收敛性。11解答：，于是，级数对任意都不收敛。例题6.判别级数的收敛性。解答：，于是，级数收敛。例题7.判别级数的收敛性。解答：若，级数收敛；若，级数发散；若，此法失效。用积分判别法，容易知道发散。例题8.判别级数的收敛性。解答：若，级数收敛；若，级数发散；若，此法失效。由于，容易知道发散。下面论述拉贝判别法。定理3.假设，且。若(包括)，级数收敛；若，级数发散；若，此法失效。11证明：若，则。对任意(对于，取)，存在，使得当，有，即，这样，当，有于是，于是，由于，因此，有界。而由于，收敛。因此，收敛，于是，收敛。若，任取，则存在一

6、个，使得当，有，于是，于是，当，有11于是，又由于，因此发散。于是，发散，于是，发散。当，取，，，但发散。又取，11由积分判别法，收敛。于是，，此法失效。例题9.判别级数的收敛性。解答：于是，级数收敛！例题10.判别级数的收敛性。解答：于是，当，级数收敛；当，级数发散；当，此法失效。11由例6，由于，于是，发散。这样，，级数收敛；，级数发散。11