正项级数Cauchy判别法的改进.pdf

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1、第３８卷第２期南昌大学学报（理科版）Ｖｏｌ．３８Ｎｏ．２２０１４年４月ＪｏｕｒｎａｌｏｆＮａｎｃｈａｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅ）Ａｐｒ．２０１４文章编号：１００６０４６４（２０１４）０２０１１６０３正项级数Ｃａｕｃｈｙ判别法的改进高军杨，彭超（中国矿业大学（北京）理学院，北京１０００８３）摘要：探讨了正项级数敛散性的判别方法。改进和推广了经典的Ｃａｕｃｈｙ判别法，获得了一般形式的Ｃａｕｃｈｙ判别法。关键词：正项级数；Ｃａｕｃｈｙ判别法；敛散性中图分类号：Ｏ１７４．５文献标志码：ＡＩｍｐｒｏｖｅｍｅｎｔａｂｏｕｔｃａｕｃｈｙｃｒｉｔｅｒｉｏ

2、ｎｏｆｓｉｅｒｅｓｗｉｔｈｐｏｓｉｔｉｖｅｔｅｒｍｓＧＡＯＪｕｎｙａｎｇ，ＰＥＮＧＣｈａｏ（ＳｃｈｏｏｌｏｆＳｃｉｅｎｃｅ，ＣｈｉｎａＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＭｉｎｉｎｇａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｂｅｉｊｉｎｇ１０００８３，Ｃｈｉｎａ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｔｄｉｓｃｕｓｓｅｄｓｏｍｅｃｒｉｔｅｒｉｏｎｓｆｏｒｔｈｅｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅｏｆｓｅｒｉｅｓｗｉｔｈｐｏｓｉｔｉｖｅｔｅｒｍｓ．ＩｔｏｂｔａｉｎｅｄｓｏｍｅｐｒｏｇｒｅｓｓａｂｏｕｔｔｈｅｃｌａｓｓｉｃａｌＣａｕｃｈｙｃｒｉｔｅｒｉｏｎ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：Ｓｅｒｉｅｓｗｉｔｈｐｏｓｉｔｉｖｅｔｅｒｍｓ；Ｃａｕｃｈ

3、ｙｃｒｉｔｅｒｉｏｎ；Ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ多数学工作者对此展开了大量的研究，获得了一些在无穷级数的教学研究中，正项级数∑ａｎ敛较好的结论（见文献［４－５］）。如著名的拉贝散性的判别是最重要的研究内容之一，其研究方法（Ｒａａｂｅ）判别法和高斯（Ｇａｕｓｓ）判别法等。因此本灵活多样（见文献［１－３］）。众所周知，达朗贝尔论文我们主要探讨Ｃａｕｃｈｙ判别法的改进与推广，使（Ｄ’Ａｌｅｍｂｅｒｔ）判别法与柯西（Ｃａｕｃｈｙ）判别法是判得新的判别法可以判别更多级数的敛散性。别正项级数∑ａｎ敛散性比较简便有效的两种方法。并且Ｃａｕｃｈｙ判别法能够判别一切能用１主要结论及其证明Ｄ’Ａ

4、ｌｅｍｂｅｒｔ判别法所判别的级数。但是这两种方法定理１设∑ａｎ为正项级数，若成立ａｎ＋１也有很大的局限性。例如当ｌｉｍ＝１或者ｌｉｍｎ→∞ａｎｎ→∞ｎｎｌｉｍ（１－槡ａｎ）＝ａｎｎ→∞ｌｎｎ槡ａｎ＝１时，这两种方法也无法判别∑ａｎ的敛散１则当ａ＞１时，级数∑ａｎ收敛，当ａ＜１时，级数性。这说明它们对常见的ｐ－级数的敛散性∑ｎｐ∑ａｎ发散。的判别都是失效的。ｎｎ经典的Ｃａｕｃｈｙ判别法：设∑ａｎ为正项级数，若证明若ａ＞１，由于ｌｉｍ（１－槡ａｎ）＝ａ，ｎ→∞ｌｎｎ成立所以存在Ｎ０，当ｎ＞Ｎ０时，我们有ｎｌｉｍ槡ａｎ＝ａｎｎａ＋１ｌｎｎ（ａ＋１）ｎｎ→∞（１－槡ａｎ）＞，即（

5、１－）＞ｌｎｎ２２ｎ则当ａ＜１时，级数∑ａｎ收敛，当ａ＞１时，级数ａｎ∑ａｎ发散。ｎ注意到数列｛｝关于ｎ是严格递增的，而函数ｙ＝进一步地，围绕这两种方法的改进，国内外的许ｌｎｎ收稿日期：２０１３１０１７。基金项目：国家自然科学基金资助项目（１１２６１００２）。作者简介：高军杨（１９７５－），副教授，博士。第２期高军杨等：正项级数Ｃａｕｃｈｙ判别法的改进·１１７·１ｘ１为了证明定理２，我们需要下面的引理。（１－）在（１，＋∞）上严格递增趋于，故我们能ｘｅ引理１若函数ｆ（ｘ）在［０，＋∞］上可导，且够推出ｘｌｉｍ槡ｆ（ｘ）＝１。则有ｌｎｎａ＋１ｌｎｎａ＋１ｎ２ａ＋１ｘ→∞

6、ｎｌｎｎ（１－）＝（１－）ｌｎｎａ＋１２＜ｘｎ２ｎ２ｘ（槡ｆ（ｘ）－１ｌｉｍ＝１以及ｌｉｍ１１ｘ→＋∞ｌｎｆ（ｘ）ｘ→＋∞ａ＋１＝ａ＋１ｘｌｎｎ２ｅ２ｎ２ｘ（槡ｆ（ｘ）－１）－ｘｌｎｆ（ｘ）１２＝［ｌｎｆ（ｘ）］２ａ＋１既然＞１，故由正项级数的比较判别法，级数ｘ２证明显然ｌｉｍ槡ｆ（ｘ）－１＝０，易见ｌｉｍｘ→＋∞ｘ→∞∑ａｎ收敛。ｌｎｆ（ｘ）＝０，由洛必达法则，当ａ＜１时，完全类似的方法可以判别级数ｘｘｌｎｆ（ｘ））′∑ａｎ发散。ｘ槡ｆ（ｘ）（槡ｆ（ｘ）－１ｘｌｉｍ＝ｌｉｍ＝１ｘ→＋∞ｌｎｆ（ｘ）ｘ→＋∞（ｌｎｆ（ｘ））′由定理１，我们立即可判别级数的敛散∑ｎｐｘｘｘ性

7、。ｌｉｍ槡ｆ（ｘ）＝１ｘ→＋∞事实上，由于类似地，我们可以证明ｌｉｍｘｘ→＋∞１ｘｘ（１－）２（ｐｘ槡ｆ（ｘ）－１）－ｘｌｎｆ（ｘ）１。ｌｉｍｘ（１－１）＝ｌｉｍ槡ｘ＝ｌｉｍ［ｌｎｆ（ｘ）］２＝２ｐｘ→＋∞ｌｎｘ槡ｘｘ→＋∞ｌｎｘｘ→＋∞（ｋ）定理２的证明注意到ｌｎｎ＝ｌｎｌｎ…ｌｎｎ，１烏烐烑ｘｘｌｎｐｋ１１ｘ（１－）′－（）′槡ｘｐ槡ｘｐｘ由引理１，我们有＝ｌｉｍ＝ｐ（ｌｎｘ）ｘ→＋∞（ｌｎｘ）′ｎ（ｋ）（ｋ）１ｌｎｎｌｎｎｘｘ（ｋ－１）ａ＝１－ａ－ｏ（）槡（ｌｎｎ）ｎｎ根据归结原则我们有且ｎｘｎ（１－１）＝ｌｉｍｘ（１－