cauchy凝聚判别法的推广

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1、第29卷第4期大学数学Vo1．29，№．42013年8月COLLEGEMATHEMATICSAug．2013Cauchy凝聚判别法的推广陈翠玲，李明，玉韦莎(1．广西师范大学数学科学学院，广西桂林541004；2．桂林理工大学理学院，广西桂林541004)[摘要]将Cauehy凝聚判别法进行推广，得到正项级数一个新的判别法．该判别法包含了若干已有的结论，同时也产生了一些新的结论．实例说明了这些结论的有效性．[关键词]正项级数；收敛；发散[中图分类号]O173．1[文献标识码]C[文章编号]1672—1454(2013)

2、04—0099—04。。引理1(Cauchy凝聚判别法)设{口)为单调递减的正项数列，则级数∑n与∑2同时一1m1收敛或发散．由引理1，我们想到将其作如下推广：定理1设{n)为单调递减的正项数列，则级数∑n与∑”nn(≥2)同时收敛或发散H=1=1证因为级数∑mnn与∑m口n有相同的敛散性，所以设S一∑n，一∑mn．由{n}H=01=lJ=O是单调递减的正项数列，

3、口n一1+1+⋯+a一1+口)一S≤(n1+口2+⋯+a一1)+(口+口+1+⋯+a21)+⋯+(n+a”+1+⋯+am"十1—1)≤(一1)a1+(优一1)口+(m一1)口2+⋯+”(一1)n一(m一1)(口1+ma+ma2+⋯+ma一)一(一1)，即≤S≤(一1)．由正项级数的比较判别法，即知∑以与∑a具有相同的敛散性．众所周知，对于判定正项级数的敛散性，比式判别法是一个很著名也很常用的方法．根据定理1，结合比式判别法可得以下推论．。。．推论1C(隔项比值法)设{n)为单调递减的正项数列，且lima2n—z．若l<

4、1，则级数∑nn‘+oo“厶一1o。-收敛；若l>告(或lim一+。。)，则级数∑n发散．[收稿日期]2011—07—26[基金项目]广西师范大学基础教育课程与教学研究二期课题项目(JS2011022)；广西师范大学青年骨干教师基金项目(师政科技(2009)7)；广西教育厅科研项目(201106LX040)100大学数学第29卷推论2Ⅲ设{a}为单调递减的正项数列，且坦in。。等一z．若z<1，则级数∑n=lan收敛；若z>专(或im”一+C×。)，则级数n发散．。推论3设{n}为单调递减的正项数列，且⋯im·2”等一

5、z．若z<1，则级数“收敛；若z>百1(或limn·2”一+oo)，则级数∑口发散．∞n'证令b一2“，c一2kb，d一2cz，则由定理1知∑n，∑b，∑c，∑d同时收敛或发散．令一2，则lim一lim2．，z．2”=：=21．一。。一。。('／-2”由比式判别法即证结论．进一步，可得推论4设{n}为单调递减的正项数列，且lira一z．若z<，则级数6／-n收敛；若l>"一∞n77(-~mn(或im一+cx3)，则级数n发散．一推论5设{a}为单调递减的正项数列，且limn一一z(m≥2)．若z<，则级数an收月一。。

6、nm—一敛；若>m(或lim一一anm4-。。)，则级数’∑an发散．一x-n”推论6设{n}为单调递减的正项数列，且limn一．m--I一z(m≥2)．”一∞am若z<，则级数∑：=n收敛；若z>(或limn～·m一一+∞)，则级数∑an发散．一nm：=注1推论4—6分别是推论1—3的推广，其证明完全类似于推论1—3的证明，令b一W1口，=b，d^一c，由定理1和比式判别法很容易证出．注2从推论1—6可以看出，文中定理1给出的判别法不仅包含了前人已经给出的判别法，同时也产生了一些新的判别法，由此可以看出此判别法的一般

7、性．下面通过实例来说明以上各判别法的有效性．例l讨论级数1(户>0)的敛散性·解由一，／@m=3，则一1一1．当>1时，<，由推论4知级”一∞上m一。。17J0数-~-(p>。)收敛；当。<<1时，>了1，由推论4知级数1(户>0)发散；当P一1时，n级数成为调和级数，发散·故对于级数(>o)，P>1时收敛，0<≤时发散·例2讨论级数一：，级数一去ln—n的敛散性．解对于∑吉，因为第4期陈翠玲，等：Cauchy凝聚判别法的推广1O11一罕一>专，故由推论2知∑1发散．对于∑1，因为11lim—nO．—n2=：=lim4

8、nIn11：lim<丢，一。。a”n一nlnln／-／l．H_f故由推n论∞2知∑1收敛．1”．一n一口注3若利用推论1和推论4来讨论例2，则不能判定其敛散性．旨8一(1的敛散性．mnn)。～‘1im一—⋯一lim一l_：li一m一。·n(+)一。。ln1+)一。。(1nnmn(1+)一。。·n(+)1n(1+1)一limm0一去