Eisenstein判别法及（E，ρ）型数域的推广.pdf

《Eisenstein判别法及（E，ρ）型数域的推广.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、2014年9月重庆师范大学学报(自然科学版)第31卷第5期JournalofChongqingNormalUniversity(Natura1Science)Vo1．31No．5Eisenstein判别法及(E，P)型数域的推广陶新恩，宋欣欣，庄媛媛，罗明(重庆师范大学数学学院，重庆401331)摘要：Eisenstein判别法是高等代数中判定整系数多项式在有理数域中的可约性的重要3-法，其推广形式很多，而最原始的形式应用代数数论中来定义(E，户)型数域。本文在原来Eisenstein判别法的基础上进行适当地推广，并将已知的(E，户)型数域也随其判别法的推广而推广，成为广(E，户)型数域，在

2、此基础上研究此数域的性质：给出素数P在广(E，声)型数域中的素理想分解形式，并且给出了这个素数P的一个重要性质。其次，得到广(E，夕)型数域中素数P及相关理想的一些性质，并给出相应的证明。这样，就推广了原本只讨论最原始定义的Eisenstein判别法及(E，)型数域的相关性质，使此理论更加完善。关键词：Eisenstein判别法；(E，)型数域；素理想中图分类号：O156．4文献标志码：A文章编号：1672—6693(2014)05—0085—04(E，)型数域在代数数论研究中具有重要的作用，其定义是由Eisenstein判别法得出的。本文将Eisen—stein判别法稍加推广，即可将(E，

3、)型数域推广。对推广后的(E，p)型数域进行讨论，得到一些相应的结果。首先介绍Eisenstein判别法和(E，户)型数域概念。引理1n](Eisenstein判别法)设本原整系数多项f(Iz)一anX+a一1x一4-⋯4-口1324-a。∈Z]，且degf≥1。如果存在素数P，使得P1／n，P(O≤≤，z一1)，P。a。，则厂(z)为Z]中不可约多项式。定义1((E，户)型数域)设厂(z)一z+一一4-⋯+nz+n。∈Z]，且deg-厂≥1。P为素数并且Pfa(O≤≤一1)，P。1／ao。由引理1知厂(z)是Q(z)中的不可约多项式。令是f(z)的一个根，则次数域K—Q()叫做是对于P的E

4、isenstein型数域，简称作(E，)型数域。注1若K—Q)是(E，)型数域，则∞的极小多项式的不可约性Eisenstein判别法由素数P判别而得出。1Eisenstein判别法的推广下面将Eisenstein判别法加以推广。引理2[3设本原整系数多项厂(z)一anX4-a一z一4-⋯+nz+。∈Z]，且deg厂一≥2。如果存在素数P，使得Pa，Pa一，Pla(0≤≤n-2)，Pa。，则厂(-z)在Z]中有次数≥一1的不可约多项式因子。推论1[3设本原整系数多项_厂(z)一anX4-a一z+⋯+nz+。∈Z]，且deg厂一。如果存在素数P和整数尼(1≤忌≤)，使得Pa，Pla(0≤≤尼一1

5、)，P1／ao，则厂()在Z]中必有次数≥尼的不可约多项式因子。推论1可用数学归纳法证明，这里就不再给出其证明。2(E，P)型数域的推广及其性质设K为数域，A为o的非零理想，P为0的素理想。用V(A)表示A的素理想分解式中P的指数(若P在A中的分解式中不出现，则令V(A)一0)。*收稿日期：2013—05—22修回日期：2013—11—04网络出版时间：2014—9—1722：37作者简介：陶新恩，男，研究方向为数论，Email：790033978@qq．corn；通讯作者：罗明，Email网络出版地址：http．／／www．cnki．net／kcms／detail／50．1165．N．20

6、140917．2237．016．html86重庆师范大学学报(自然科学版)http：／／www．cqnuj．cn第31卷引理3对每个元素0≠∈o，令v()一V(a0)。并且规定V(0)一oo，同时规定：xCNq"nEZ(Z是整数集)，n<∞，+o。一o。+一∞+∞一∞一oon一0000~∞。当a，∈0时，则有：1)v(n)一v)+(』9)，v(a+)≥min(v()，vP(卢))；2)若v(a)≠V(卢)，则VP+卢)一rain(V)，VP(J9))；3)设a，⋯，∈0，≥2，++⋯+一0，记m—min{(口){1≤≤}。则至少有两个不同的下标i和J，使得V(a)一P(∞)一m。证明1)由于

7、()一(a)()，所以就可得到V(ap)=vp(a)~Vp(卢)成立。又因为(+()+(，故vp+≥()+()，N2CNN有结论vp((a)+()=minVp((a)，(卢))，所以就有V(a+)≥min((a)，V())成立。2)由于v()≠(J8)，故不妨设()％Vp(卢)。则由结论1)知Vr(+≥min(Vv(a)，Vp(』9))Vp(a)。另一方面，)()+()一+)+()，故(d)≥min(P(a+