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《广义积分的收敛判别法.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯第二节广义积分的收敛判别法上一节我们讨论了广义积分的计算,在实际应用中，我们将发现大量的积分是不能直接计算的，有的积分虽然可以直接计算，但因为过程太复杂，也不为计算工作者采用，对这类问题计算工作者常采用数值计算方法或Monte-Carlo方法求其近似值.对广义积分而言，求其近似值有一个先决条件—积分收敛，否则其结果毫无意义。因此，判断一个广义积分收敛与发散是非常重要的．定理9.1（Cauchy收敛原理）f(x)在[a,+∞）上的广义积分f(x
2、)dxa收敛的充分必要条件是：0,存在A>0,使得b,b>A时，恒有/b
3、f(x)dx
4、b证明：对limf(x)dx0使用柯西收敛原理立即得此结论．bbb同样对瑕积分f(x)dx(b为瑕点),我们有a定理9.2（瑕积分的Cauchy收敛原理）设函数f(x)在[a,b)上有定义，b在其任何闭子区间[a,b–]上常义可积，则瑕积分f(x)dx收敛的a/充要条件是:0,0,只要0<，就有/b
5、f(x)dx
6、b定义9.5如果广义积分
7、f(x)
8、dx收敛，我们称广义积分f(x)dxaa绝对收敛（也称f(x)在[a,+)上绝对可积];如f(x)dx
9、收敛而非绝a对收敛，则称f(x)dx条件收敛，也称f(x)在[a,+)上条件可积．a/由于A,Aa，均有1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯//AA
10、f(x)dx
11、
12、f(x)
13、dxAA因此，由Cauchy收敛原理，我们得到下列定理．定理9.3如果广义积分f(x)dx绝对收敛，则广义积分f(x)dx必aa收敛．它的逆命题不一定成立，后面我们将会看到这样的例子。对其它形式的广义积分，类似地有绝对收敛及条件收敛的定义及性质．下面我们先介绍当被积函数非负时，广义积分收敛的一些判别法．
14、比较判别法：定理9.4（无限区间上的广义积分）设在[a,+)上恒有0f(x)k(x),（k为正常数）则当(x)dx收敛时,f(x)dx也收敛;aa当f(x)dx发散时,(x)dx也发散．aa证明：由Cauchy收敛原理马上得结论成立．对瑕积分有类似的结论判别法定理9.5设f(x),g(x)均为[a,b)上的非负函数，b为两个函数的奇点，如存在一个正常数k,使0f(x)kg(x),x[a,b),则bb1）如g(x)dx收敛，则f(a)dx也收敛。aabb2）如f(x)dx发散，则g(x)dx也发散．aa比较判别法在实际应用时，我们常常用下
15、列极限形式．2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯f(x)定理9.6如果f(x),g(x)是[a,+)上的非负函数,且liml,则xg(x)(1)如果0l,且g(x)dx收敛,则积分f(x)dx也收敛．aa(2)如果0l,且g(x)dx发散，则积分f(x)dx也发散．aaf(x)证明：如果liml0,则对于0(l0),存在A,xg(x)f(x)当xA时,0llg(x)即(l)g(x)f(x)(l)g(x)成立.显然f(x)dx与ag(x)dx同时收敛或同时发散，在l=0或l=时
16、，可类似地讨论.a使用同样的方法，我们有bb定理9.7对以b为唯一瑕点的两个瑕积分f(x)dx与g(x)dx如果aaf(x)f(x),g(x)是非负函数，且liml,则xbg(x)bb（1）当0l,且g(x)dx收敛时，则f(x)dx也收敛．aabb（2）当0l，且g(x)dx发散时，则f(x)dx也发散．aa1对无限区间上的广义积分中，取dx作比较标准，则得到下列apxCauchy判别法：设f(x)是[a,+)的函数，在其任意闭区间上可积,那么:c定理9.8若0f(x)，p>1,那么积分f(x)dx收敛，如paxcf(x)，p1,则积
17、分f(x)dx发散．pax其极限形式为p定理9.9如limxf(x)l(0l,p>1),则积分f(x)dx收xa3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯敛．p如limxf(x)l,而0l,p1,则f(x)dxba发散.例9.8判断下列广义积分的收敛性。11(1)ln(1)dx1x1xmx(2)dx(m>0,n>0)1n1x11解：（1）因为0ln(1)x1x11112x1xx(1x)x111由dx收敛推出ln(1)dx收敛．121xx1xmnmx（2）因为limx1,所以当n－m
18、>1时，积分nx1xmmxxdx收敛.当n－m1时，积分dx发散．1n1n1x1xb1对于瑕积分，使用dx作为比较标准，我们有下列柯西判别ap(xa)法．定理9.10设x=a是f(x)在[a,b)上的唯一奇
