广义积分的收敛判别法.docx

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1、f(x)dx⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯第二节广义积分的收敛判别法上一节我们讨论了广义积分的计算,在实际应用中，我们将发现大量的积分是不能直接计算的，有的积分虽然可以直接计算，但因为过程太复杂，也不为计算工作者采用，对这类问题计算工作者常采用数值计算方法或Monte-Carlo方法求其近似值.对广义积分而言，求其近似值有一个先决条件—积分收敛，否则其结果毫无意义。因此，判断一个广义积分收敛与发散是非常重要的．定理9.1（Cauchy收敛原理）f(x)

2、在[a,+∞）上的广义积分a收敛的充分必要条件是：0,存在A>0,使得b,b>A时，恒有b/

3、bf(x)dx

4、证明：对limf(x)dx0使用柯西收敛原理立即得此结论．bb同样对瑕积分bf(x)dx(b为瑕点),我们有a定理9.2（瑕积分的Cauchy收敛原理）设函数f(x)在[a,b)上有定义，在其任何闭子区间[a,b–]上常义可积，则瑕积分bf(x)dx收敛的a充要条件是:b0,0,只要0

5、bf(x)dx

6、定义9.5如果广义积分

7、f(x)

8、dx收敛，我们称广义积分f(x)dxaa绝对收敛（也称

9、f(x)在[a,+)上绝对可积];如af(x)dx收敛而非绝对收敛，则称af(x)dx条件收敛，也称f(x)在[a,+)上条件可积．由于AA/a，均有,1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

10、A/A/f(x)dx

11、

12、f(x)

13、dxAA因此，由Cauchy收敛原理，我们得到下列定理．定理9.3如果广义积分f(x)dx绝对收敛，则广义积分f(x)dx必aa收敛．它的逆命题不一定成立，后面我们将会看到这样的例子。对其它形式的广义积分，类似地有绝对收敛及条件收敛的定

14、义及性质．下面我们先介绍当被积函数非负时，广义积分收敛的一些判别法．比较判别法：定理9.4（无限区间上的广义积分）设在[a,+)上恒有0f(x)k(x),（k为正常数）则当(x)dx收敛时,f(x)dx也收敛;aa当f(x)dx发散时,(x)dx也发散．aa证明：由Cauchy收敛原理马上得结论成立．对瑕积分有类似的结论判别法定理9.5设f(x),g(x)均为[a,b)上的非负函数，b为两个函数的奇点，如存在一个正常数k,使0f(x)kg(x),x[a,b),则1）如bbg(x)dx收敛，则f(a)dx也收敛。aab

15、f(x)dx发散，则bg(x)dx也发散．2）如aa比较判别法在实际应用时，我们常常用下列极限形式．2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯定理9.6如果f(x),g(x)是[a,+)上的非负函数,且limf(x)l,则xg(x)(1)如果0l,且g(x)dx收敛,则积分f(x)dx也收敛．aa(2)如果0l,且g(x)dx发散，则积分af(x)dx也发散．af(x)l0,则对于0(l0),存在A,证明：如果limxg(x)当xA时,0lf(x)lg(x)即(

16、l)g(x)f(x)(l)g(x)成立.显然f(x)dx与ag(x)dx同时收敛或同时发散，在l=0或l=时，可类似地讨论.a使用同样的方法，我们有定理9.7对以b为唯一瑕点的两个瑕积分bb如果af(x)dx与g(x)dxaf(x),g(x)是非负函数，且limf(x)l,则xbg(x)（1）当0l,且bbf(x)dx也收敛．g(x)dx收敛时，则aa（2）当0l，且bbf(x)dx也发散．g(x)dx发散时，则aa对无限区间上的广义积分中，取1dx作比较标准，则得到下列axpCauchy判别法：设f(x)是[a,+

17、)的函数，在其任意闭区间上可积,那么:定理9.8若0f(x)cp，p>1,那么积分af(x)dx收敛，如xf(x)cp，p1,则积分af(x)dx发散．x其极限形式为定理9.9如limxpf(x)l(0l,p>1),则积分f(x)dx收xa3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯敛．如limxpf(x)l,而0l,p1,则f(x)dxba发散.例9.8判断下列广义积分的收敛性。(1)ln(11)1dx1x1x(2)xmdx(m>0,n>0)11xn解：（1）因

18、为0ln(111)1xx1111x1xx(1x)x2由112dx收敛推出1ln(11)1dx收敛．xx1x（2）因为limxnmxmn1,所以当n－m>1时，积分x1xxmxm11xndx收敛.当n－m1时，积分11xndx发散．b1作为比较标准，我们有下列柯西判别对于瑕积分，使用a)pdxa(x法．定理9.10设x=a是f(x)在[a,b)上