正项级数的判别法(1)

《正项级数的判别法(1)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、第二节正项级数的判别法一般情况下，利用定义和准则来判断级数的收敛性是很困难的，能否找到更简单有效的判别方法呢？我们先从最简单的一类级数找到突破口，那就是正项级数.分布图示★正项级数★比较判别法★例1★例2★例3★例4★例5★比较判别法的极限形式★例6★例7★例8★例9★例10★比值判别法★例11★例12★例13★根值判别法★例14★例15★例16★积分判别法★例17★内容小结★课堂练习★习题12-2★返回内容要点一、正项级数收敛的充要条件是：它的部分和数列有界.以此为基础推出一系列级数收敛性的判别法：比较

2、判别法；比较判别法的极限形式；推论（常用结论）比较判别法是判断正项级数收敛性的一个重要方法.对一给定的正项级数，如果要用比较判别法来判别其收敛性，则首先要通过观察，找到另一个已知级数与其进行比较，并应用定理2进行判断.只有知道一些重要级数的收敛性，并加以灵活应用，才能熟练掌握比较判别法.至今为止，我们熟悉的重要的已知级数包括等比级数、调和级数以及级数等.要应用比较判别法来判别给定级数的收敛性，就必须给定级数的一般项与某一已知级数的一般项之间的不等式.但有时直接建立这样的不等式相当困难，为应用方便，我们给出

3、比较判别法的极限形式.使用比较判别法或其极限形式，需要找到一个已知级数作比较，这多少有些困难.下面介绍的几个判别法，可以利用级数自身的特点，来判断级数的收敛性.比值判别法（达朗贝尔判别法）：适合与有公因式且存在或等于无穷大的情形.根值判别法（柯西判别法）：适合中含有表达式的次幂，且或等于的情形.积分判别法：对于正项级数，如果可看作由一个在上单调减少函数所产生,即有则可用积分判别法来判定正项级数的敛散性.例题选讲比较判别法的应用例1（E01）讨论—级数的收敛性.解时，级数发散.时，由图可见即有界，级数收敛.

4、当时收敛故级数.当时发散例2（E02）证明级数是发散的.证而级数发散，发散.例3（E03）判别级数的收敛性.解运用比较判别法.因而是收敛的,所以原级数收敛.例4（E04）设且及均收敛，证明级数收敛.证由得由于与都收敛,故是收敛的,从而由比较判别法知,正项级数也收敛.再由与的收敛性可推知:级数也收敛.例5设，证明级数收敛.证由得因为所以收敛,由比较判别法知收敛.比较判别法及其推论的应用例6（E05）判定下列级数的敛散性:(1)(2)解因故根据极限判别法,知所给级数收敛.因为根据极限判别法,知所给级数收敛.比

5、值判别法的应用例7判别级数的敛散性.解记采用比较法的极限形式,取因所以原级数与级数具有相同的敛散性,从而知当时，级数收敛;当时，级数发散.例8判别级数的敛散性.解选取级数作比较.由可得因级数收敛,所以原级数也收敛.注:从以上解答过程中可以看到极限中的某些等价无穷小在级数审敛讨论时十分有用的,事实上级数的收敛性取决于通项趋向于零的“快慢”程度.例9（E06）判别级数的敛散性.解令由于从而由级数的收敛推知本题所给级数也收敛.例10级数当时收敛,有人说,因为故级数收敛.你认为他的说法对吗?解不对.前者级数的是一

6、常数与无关,而后者与有关,事实上由级数的发散性,可知级数也发散.例11（E07）判别下列级数的收敛性：(1)；(2).(3)解故级数收敛.故级数发散.比值判别法失效,改用比较判别法,因为而级数收敛,所以收敛.例12（E08）判别级数的散敛性.解因为而对于级数由比值判别法,因所以级数收敛,从而原级数亦收敛.例13判别级数的收敛性.解采用比较判别法,由于所以当时，原级数收敛;当时，原级数发散;当时，比值法失效,但此时注意到:数列严格单调增加,且于是即故由此得到所以当时原级数发散.例14判别级数的散敛性.解一般

7、项含有次方,故可采用根值判别法.因为故所求级数收敛.例15（E09）判别级数的收敛性：解因为由根值判别法知题设级数收敛.例16（E10）判别级数的收敛性.解因为而故原级数收敛.例17（E11）试确定级数的敛散性.解若设则显然在时非负且连续.因所以在时有函数单调减少,于是,可以对级数应用积分判别法.注意到即广义积分以散,所以级数发散.课堂练习1.设正项级数收敛,能否推得收敛?反之是否成立?2.判别下列级数的收敛性达朗贝尔（D’AlemberJeanLeRond，1717~1783）达朗贝尔是法国物理学家、数

8、学家。1717年11月17日生于法国巴黎；1783年10月29日卒于巴黎。达朗贝尔是私生子，出生不久便被母亲遗弃在巴黎的圣.让勒龙教堂的石阶上。后被一宪兵发现，临时用该教堂的名字作为婴儿的教名。姓氏达朗贝尔是他长大后自己取的。达朗贝尔少年时被父亲送入一个教会学校，主要学习古典文学、修辞学和数学。他对数学特别有兴趣，为后来成为著名数理科学家打下了基础。达朗贝尔没有受过正规的大学教育，靠自学掌握了牛顿和当代著名数理科学家们的著作。