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1、第38卷第11期2008年6月数学的实践与认识V01.38No.11MATHEMATICSINPRACTICEANDTHEORY正项级数的Gauss指标判别法’姬小龙,王锐利(济源职业技术学院基础部。河南济源454650)摘要:,在正项级数Gauss判别法的基础上,定义了正数列a。的Gauss指标G=limEntn(a。/n什1)一1]Inn.从而得到了正项级数的Gauss指标判别法.通过具体计算已有各种判别法的Gauss指标,结果表明,Gauss指标判别法是达朗贝尔、柯西、拉贝、高斯和Bertrand等5种判别法的推广
2、.’关键词:正项级数;Gauss判别法;Gauss指标1引言.在正项级数敛散性的判别法中,有著名的达朗贝尔判别法、柯西判别法、拉贝判别法、高斯判别法和Bertrand判别法等等‘1‘引,JI等在文E33中建立了正项级数的Raabe对数判别法,类似于文E33,我们对正项级数的Gauss判别法进行了改进,定义正数列的Gauss指标,从而得出了正项级数的Gauss指标判别法.通过具体计算已有各种判别法的Gauss指标,结果表明,Gauss指标判别法是达朗贝尔判别法、柯西判别法、拉贝判别法、高斯判别法、Bertrand判别法等5
3、种判别法的推广.定义设a。是正数列,称,G=lim[,2ln(a。/a。+1)一1]ln咒(1)为数列口。的Gauss指标.”定理A(Gauss指标判别法)设≥:口。为正项级数(以。>o),记G为正数列口。的Gauss指标.则当G>l或G一+o。时,级数∑口。收敛;当G<1或G一一oo时,级数∑a。发散.定理B设a。是正数列,则下列三个条件等价:(a)lim[咒in(口。/a。+1)一13in以=G;(b)lim{■(口。/a什1)一1]一1}In卵一G;(c)a,,/口,⋯一l+(1/,2)+(GinIn胛)+O(1/
4、行Inn),(,z·+o。).2定理的证明引理1当z>0时,有不等式:x/(1+z)1或p=+。。时级数收敛;当p<1或卢一一o。时级数发散.定理A的证明对于正数列口。,若G=lim[以ln(a。/a。+,)一131n挖,则有收稿日期:2008—01—05(2)208数学的实践与认识38卷[,zln(以,,/以。+1)一1]in舱一G+o(1),(咒一
5、oo),1n(口,,/a。+1)=(I/n)+(G/nIn扎)+o(1/nIn咒),(咒一co),口,。/a,,+l—exp[(1/n)+(G/nIn卵)+0(1/nIn咒)],(托一oo),(日,。/a。+1)一1一exp[(1/n)+(G/nIn卵)+o(1/nIn竹)]一1~(1/n)+(G/以In,2)+O(1/咒in,2),(挖—,oo),[n(n,,/a,件1)一1]一1~G/inri+o(1/ln,2),(,2一OO),’lira([,2(以。/口。+1)一1]一1)in咒=G(3)于是有口。/a井1=1+
6、(1/n)+(G/,zin咒)+o(1/nIn,2),(砬÷+oo)(4)反之,若(4)式成立,可推得G—liraInin(乜。/a,州)一1]In卯.事实上,由引理1得熹肄洪g急堕牟娶娑燃7、对上式取极限,可得G—limInln(a。/a卅。)一1]lnn.由(4)式及引理2知,定理成立,证毕.定理B的证明(证圈)由定理A的证明过程可知,(1)净(3)净(4)寸(1),证毕.3一些推论推论1(D7Alembert判别法)设∑口。为正项级数(口。>o),且limo。屈抖1)7=9,则⋯当q>1时,级数≥二口。收敛;当q<1时,级数≥:以。发散.证明当q>1时,Gauss指标G一+oo;当q<1时,Gauss指标G一一o。.一HF"--推论2(Cauchy判别法)设≥:‰为正项级数(口『l>o),且lira(1/8、√口。)=q,则当q月—,oo>1时,级数≥:以。收敛;当g<1时,级数≥:n。发散.证明当q>1时,计算得Gauss指标·G=+OO;当g<1时,Gauss指标G=一o。.推论3(Raabe判别法)设≥:口。为正项级数(以。>o),且an/a。+,一1+z/以+o(1/n),(挖一oo).则当z>1时,级数≥:口。
7、对上式取极限,可得G—limInln(a。/a卅。)一1]lnn.由(4)式及引理2知,定理成立,证毕.定理B的证明(证圈)由定理A的证明过程可知,(1)净(3)净(4)寸(1),证毕.3一些推论推论1(D7Alembert判别法)设∑口。为正项级数(口。>o),且limo。屈抖1)7=9,则⋯当q>1时,级数≥二口。收敛;当q<1时,级数≥:以。发散.证明当q>1时,Gauss指标G一+oo;当q<1时,Gauss指标G一一o。.一HF"--推论2(Cauchy判别法)设≥:‰为正项级数(口『l>o),且lira(1/
8、√口。)=q,则当q月—,oo>1时,级数≥:以。收敛;当g<1时,级数≥:n。发散.证明当q>1时,计算得Gauss指标·G=+OO;当g<1时,Gauss指标G=一o。.推论3(Raabe判别法)设≥:口。为正项级数(以。>o),且an/a。+,一1+z/以+o(1/n),(挖一oo).则当z>1时,级数≥:口。
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