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《函数级数一致收敛的Gauss判别法与对数判别法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、内江师范学院学报第26卷第6期14JOURNALOFNEIJIANGNORMALUNIVERSITYNo.6Vol.26函数级数一致收敛的Gauss判别法与对数判别法*徐家斌,马常友(内江师范学院数学与信息科学学院,四川内江641100)摘要:基于将正项级数审敛法推广到函数级数一致收敛上去的思想,类比正项级数的Gauss判别法、对数判别法、拟对数判别法以及它们的极限形式,得到了函数级数一致收敛的相应判别法,丰富了函数级数一致收敛审敛法.关键词:函数级数;一致收敛;Gauss判别法;对数判别法;拟对
2、数判别法中图分类号:O173文献标志码:A文章编号:1671-1785(2011)06-0014-040引言则un(x)在区间I上绝对一致收敛.函数级数在数学科学本身和工程技术领域都有2函数级数一致收敛的新判别法重要应用.函数级数的一个基本问题是研究其一致收敛性,而一致收敛的判别比较困难.一种自然的思想定理1设un(x)为区间I上的正项函数项是将正项常数项级数的判别法推广到函数项级数一级数(un(x)>0,xI),且存在正整数N及常数致收敛的判别上去.目前,正项级数的DAlemberts,则判别
3、法、Cauchy判别法、Raabe判别法和它们的极限(i)若{un(x)}在区间I上一致有界,而n>形式顺利地推广到了函数项级数一致收敛审敛上N,xI,都有[16][78]去,本文继续将正项级数的Gauss判别法、对un(x)数判别法和拟对数判别法[8]推广到函数项级数的lnnn-1-1s>1,un+1(x)一致收敛审敛上去,以丰富函数级数一致收敛审敛则un(x)在区间I上一致收敛;法.正项级数的对数判别法和拟对数判别法是分别(ii)若n>N,xI,都有[911]优于Raabe判别法和Gaus
4、s判别法的.可以证un(x)明,函数级数一致收敛的相应判别法也有类似的结lnnn-1-11,un+1(x)论.则un(x)在xI都发散.1引理证明(i)NN+,n>N,xI,都有un(x)引理1[2]设ulnnn-1-1s>1,n(x)为定义在区间I上的函un+1(x)数项级数(un(x)0,xI),{un(x)}在区间I上即一致有界,若存在收敛的正项级数vn,且存在正un(x)1+1+s.un+1(x)nnlnn整数N,对n>N,使得对xI都有1un+k(x)vn+k取
5、p使1N,xI,都有于是>,即<,又un+1(x)vn+1un(x)vn1ln1un(x)n(lnn)p当p>1收敛,由引理1知,un(
6、x)在lnnl>1,则un(x)在区间I上一致收区间I上一致收敛.敛;(ii)NN+,n>N,xI,都有(ii)若NN+,n>N,xI,都有un(x)1lnnn-1-11,lnun+1(x)un(x)1,则un(x)在xI都发散.lnn即证明(i)由NN+,n>N,xI,都un(x)111++=un+1(x)nnlnnln1un(x)11nlnn+lnn+1(n+1)ln(n+1)有l>1,即un(x)l,又l当l><.lnnnnnlnnnlnn1时收敛,由M判
7、别法,un(x)在区间I上一致收1记vn=,则有n(lnn)敛.vn=(n+1)ln(n+1).(ii)由NN+,n>N,xI,都有vn+1nlnn1ln于是un(x)vn+1,又1un(x)11un+1(x)vn+1un(x)vnnlnnlnn1,即un(x)n,又n发散,故发散,故un(x)也在xI处发散.un(x)在xI处发散.推论1(Gauss判别法)设un(x)为区间I推论3设un(x)为区间I上的正项函数项上的正项函数项级数(un(x)>0
8、,xI),则级数(un(x)>0,xI),则(i)若{un(x)}在区间I上一致有界,而1lnun(x)un(x)(i)若liminf=l,且l>1,则un(x)lniminfxIlnnnu-1-1=l>1,nxIlnnn+1(x)在区间I上一致收敛;则un(x)在区间I上一致收敛;1ln(ii)若un(x)(ii)若limsup=l
