函数项级数一致收敛的判别法

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1、万方数据第23卷第5期2009年9月甘肃联合大学学报(自然科学版)JournalofGansuLianheUniversity(NaturalSciences)V01．23No．5sept．2009文章编号：1672-691X(2009)05-0110-05函数项级数一致收敛的判别法金玮(宁夏大学，数学计算机学院，宁夏银川750021)摘要：给出了判断函数项级数一致收敛的多种方法，并对每种新方法给予严格证明，内容丰富，方法多样，以利于对函数项级数一致收敛的深入了解和更为广泛的应用．关键词：函数项级数；一致收敛；判别法中图分类号：0174

2、．41文献标识码：A对于函数项级数，研究函数的解析性质至关重要，函数项级数必须具有一致收敛性，而判断函数项级数的一致收敛性往往是比较困难的，本文对在教材上常见的一致收敛的判法不再赘述，对教材之外的一些判别进行总结归纳．1判别函数项级数一致收敛的基本方法定理l设“。(z)为定义在数集D上正的函数列，记吼(上)=‰+l(x)／u。(z)，若limq。(z)一g(z)≤q<1，且t‘。(z)在D上一致有界，则函数项级数∑“。(z)在D上一致收敛．H一1定理2设“。(z)为定义在D上的函数列，若lim巧：忑万=q(z)≤q<1对Vz∈D成立，则

3、函n1●∞数项级数∑‰(z)在D上一致收敛．H掌1定理3设“。(z)为定义在D上的函数列，若1im二掣=户(z)存在，那么Ir+∞上n尥。1)若对Vz∈D，p(z)>p>1，则函数项级数∑Un(z)--．-燃n=l2)若对Vz∈D，夕(z)o，jN使得对V九>N，有夕(z)一e<一lnu。(x)／lnn<夕(z)+￡，即1／np‘曲+·户>1对Vz∈D成立时，有Un(x)l时收

4、敛，由优级数判别法知函数项级数≥：“。(z)在D上二=l一致收敛；而当P(z)<夕<1对Vz∈D成立时，有Un(x)>llnp，而P级数∑1／np当P<1时发散，从而函数项级数∑‰(z)在D上不一致收n毫1敛．定理4设函数列{越。(z))在闭区间[口，6]上连续，可微，且存在一点z。∈[口，6]，使得∑‰nll(z)在点XO处收敛；∑“。7(z)在[口，6]上一致收_一l敛，则函数项级数∑Un(z)在[口，6]上一致收敛．证明已知∑"。(z)在点z。∈[口，6]收敛，n=1即Ve>0，了N1(￡)，使得，l≥Nl(￡)时，对VP∈时，有

5、I∑毗(z。)l<￡成立．对Vz∈[口，6]，有l∑锹7(面)lN，VP∈N+，VxE[口，6]，有，r+。p，rt。’肿Pl。譬以z)一艺Ut("270)l≤l。圣，“7t(p上茹n+lh--a*'F1上皇井1收稿日期：2009—05-20．基金项目：宁夏大学青年科学基金资助项目(QN200701)．作者简介：金玮(1975一)，女，宁夏中宁人，宁夏大学讲师，硕士，主要从事函数逼近论的研究．万方数据第5期金玮：函数项级数一致收敛的争J别法111(z一-TO)I<￡(6一口)(f介于z与zo之间)．于是

6、V">N，V户∈N+，z∈[口，6]，"}IR+★l冉tI∑‰(z)I=I∑毗(z)一∑纵(z。)+I一井lI一计lt一井1≤≤e(6一口)+￡一e(6一口+1)．即∑五。(z)在[口，6]上一致收敛．，rl+2函数项级数一致收敛的几个新的判别法及证明定理5设函数项级数∑‰(z)，∑砜(z)都是定义在数集D上的正项函数项级数，‘丝黑+r(z)，挖·∞，z∈D．设inff，．(z))----rl，sup{r(x))一--rz．z∈D土∈D1)当n>o，r2<，+∞时，∑‰(z)与∑％(z)在数集D上是同时一致收敛或同时不一致收敛．‘2)当

7、rl=0，吃<+∞时，若≥：％(z)在D上一致收敛，则∑Un(z)在D上也一致收敛．3)当n>o，r2=+∞时，若∑“。(z)在D上一致收敛，则≥：％(z)在D上也一致收敛．证明由丝兴一r(z)，n--+oo，z∈D，则取V^～Z，●eo>0，jNo，当，l>No时，对一切z∈D有J乱。(z)／％(z)一r(z)I0，r2<+oo时，取￡o

8、同时不一致收敛．2)当r-=0，rz<+∞时，由式(1)的右半部分可以知道若∑％(z)在D上一致收敛，则芝：‰(z)在D上也一致收敛．3)当r。>o，r2=+∞时，由式(1)的右半部分可以知道若∑‰(z)在