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1、第二节一、正项级数及其审敛法正项级数的判别法第十二章如果级数满足条件：称为正项级数。一、正项级数及其审敛法数列极限存在准则：单调有界数列必有极限定理1.正项级数收敛部分和序列有界.部分和数列为单调增加数列.证明:这是一个正项级数，其部分和为:故{sn}有界，所以原级数收敛.定理2(比较审敛法)设和都是正项级数，且(1)级数收敛，则级数收敛；(2)级数发散，则级数发散.即:大的收敛,小的一定收敛;小的发散,大的一定发散.（1）若则由定理1知,因此所以级数（2）若则由定理1知,因此所以级数收敛，也有界，收敛；发散，也无
2、界，发散；推论：如果正项级数,则定理2中的结论仍和从某项N之后满足关系式:成立。例2.讨论p级数(常数p>0)的敛散性.解:1)若因调和级数所以p级数发散.发散,由比较审敛法可知：因为当故时,2)若考虑级数的部分和故级数收敛,由比较审敛法知p级数收敛.结论：p—级数当p>1时收敛；当p1时发散。（2）时，几何级数，收敛。设收敛于S。由定理1知，此时P-级数收敛。公比，法二调和级数与p级数是两个常用的比较级数.而级数是发散的；比较审敛法的不便:须有参考级数.由比较判别法可知，所给级数也发散.解：例3.判别级数的收敛
3、性。所以所以原级数为正项级数。取而是收敛的几何级数，所以，是收敛的。例4判定级数的敛散性。解即而级数收敛，故级数收敛。0,收敛和有相同的敛散性。收敛;发散发散;注意：若发散，不一定发散。定理3.(比较审敛法的极限形式)设两正项级数本质：比较两正项级数一般项作为无穷小量的阶由比较审敛法,得证.证明由比较审敛法,得证.假设收敛，由（2）知收敛，与发散矛盾。故发散。的敛散性.～例5.判别级数的敛散性.解:根据比较审敛法的极限形式知例6.判别级数解:由比较审敛法的极限形式知～发散，正确吗？解：例7：判别级数的收敛性。收敛
4、且由比较判别法的极限形式知，收敛。0,收敛和有相同的敛散性。收敛;发散发散;(1)特别取则收敛，若(2)取则发散，若（或为+）发散推论(极限审敛法)设为正项级数,(1)若，则级数发散;(2)如果p>1，而，则级数收敛.例如.级数当n时，故所给级数收敛（1）使用比较审敛法（包括推论或极限形式），需选取一个适当的、收敛性为已知的级数作为比较对象。（2）常用的比较对象有：等比级数、P-级数和调和级数。（3）比较对象的选取有时比较困难。说明：定理4.比值审敛法(D’alembert判别法)设为正项级数,且则(1)当(
5、2)当证:(1)收敛,时,级数收敛;或时,级数发散.由比较审敛法可知（3）当=1时，不能用此法判定级数的敛散性。因此所以级数发散.时说明:当时,级数可能收敛也可能发散.例如,p–级数但级数收敛;级数发散.从而(2)当注意:比较判别法与比值判别法常结合使用例8.判定级数解：因为所以故的收敛性收敛，收敛。比值审敛法的优点：无须寻找比较对象，直接利用级数自身的一般项，因此使用直观方便。例9.判定级数解：比值判别法失效，需改用其它方法来判别。的收敛性。例9.判定级数的收敛性。解：而级数由比较判别法知也是收敛的。是p=2的
6、p级数，是收敛的，注意：当某个判别法失效时，不要盲目下结论，此时要改用其它方法进一步判别。例10.讨论级数的敛散性.解:根据定理4可知:级数收敛;级数发散;(2)当>1(或为)时，级数发散；(3)当=1时,不能用此法判定级数的收敛性。同比值审敛法一样，根值审敛法也有使用直观方便的优点；比值审敛法与根值审敛法均要求所用到的极限存在，且不等于1。定理5.根值审敛法(Cauchy判别法)设为正项级则数,且根值审敛法适用于通项含有n次幂；例11.判定下列级数的收敛性。解：因为所以由根值判别法知，级数收敛由两边夹法则解
7、：因为所以根值判别法失效所以所给级数发散。例11.判定下列级数的收敛性。比值判别法与根值判别法的比较：（1）适用对象若一般项中含有因子则一般考虑用比值法，若一般项中含有因子则一般考虑用根值法，（2）适用范围若用根值法失效，即则用比值法也一定失效，即此时必有反之不成立。（3）一般来说，比值法运算简单，根值法适用范围大。例12：判定级数解：因为且含有因子（1）当0e，时，所给级数发散；例12：判定级数解：因为且含有因子的收敛性。（3）当a=e，时，所以所给级数发散。例1
8、3.证明证明：考察级数所以所考察级数收敛；因此，即内容小结1.利用部分和数列的极限判别级数的敛散性2.利用正项级数审敛法必要条件不满足发散满足比值审敛法根值审敛法收敛发散不定比较审敛法用它法判别积分判别法部分和极限思考题1.判断级数的敛散性反之不成立.例如：收敛,发散.由比较审敛法知收敛.提示:P225习题12-2:1(1),2(1,3,),3(1,4),4
