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时间:2020-07-30
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1、第35卷第4期武汉理工大学学报(交通科学与工程版)Vol.35No.42011年8月JournalofWuhanUniversityofTechnologyAug.2011(TransportationScience&Engineering)Boussinesq方程新的精确解杨琼芬杜先云杨立娟(绵阳师范学院数学与计算机科学学院绵阳621000)摘要:以齐次平衡原则和试探函数法为基础,给出函数变换与双线性算子相结合的方法,构造了Boussinesq方程新的精确解.关键词:齐次平衡原则;Boussinesq方程;试探函数法;双线性算子中图法分类号:O175.2DOI:10.3963/j
2、.issn.1006-2823.2011.04.0530引言子声波等,由于它可以用来描述2个相反方向传播的Kdv孤波,也可以描述一维非线性晶格的振[6]动,因此,Boussinesq方程的研究受到许多学随着非线性科学技术的不断发展,非线性科[7]学理论的研究问题在自然科学和社会科学领域当者的关注.中正在蓬勃发展.构造非线性发展方程精确解是孤立子理论的重要研究课题之一.目前,人们已1Boussinesq方程的精确解经发现了很多有效的求解方法,如双曲正切函数[1],齐次平衡法[2],试探函数法[3],辅助方程2法对于方程utt-uxx-3(u)xx-uxxxx=0(1)[4][5]法,
3、EXP-函数展开法等.令试探函数法是一种行之有效的用于求解非线u=2(lnf)xx(2)性偏微分方程的方法,本文利用函数变换与双线式中:f为待定函数.性算子相结合的方法,构造Boussinesq方程新的将式(2)代入式(1)成双线性形式精确解.(D224)f×f=0(3)t-Dx-Dx经典的Boussinesq方程形如其中双线性算子的定义为2)un+auxx+b(uxx+kuxxxx=0Dmn(-)m(-)n×xDta×b=′′式中:u(x,t)为流体自由表面的运动;正常数a,bxxxx′,t′)|依赖于流体的深度和长波的特征速度.a(x,t)×b(xx=x′,t=
4、t′Boussinesq方程是一种能够描述规则波和不设-Ω(x+αt)Ω(x+αt)规则波在复杂地形上发生浅化、折射、绕射和反射f(x,t)=e+a0sinp(x-αt)+a1e效应相当有效的数学模型.1871年Boussinesq考(4)虑垂向流速及压强分布的影响,假定垂向流速从则2[4Ω2222)α2底面零线性增加到自由表面的最大值,得到了Dtf×f=2αa1+(Ω-pa0×-Ω(x+αt)22)α2Boussinesq方程.考虑波浪传播的非线性变化,sin(x-αt)e+(Ω-pa0a1×Ω(x+αt)2221967年Peregrine推导了变水深条件下浅水区波sinp(x-
5、αt)e-a0pα-2pΩ×2-Ω(x+αt)浪传播的Boussinesq方程.后来Boussinesq方程αa0cosp(x-αt)e+2pΩ×2Ω(x+αt)](5)也适用于其他的物理应用中,如等离子体中的离αa0a1cosp(x-αt)e收稿日期:2011-03-19杨琼芬(1965-):女,副教授,主要研究领域为偏微分方程的精确解第4期杨琼芬,等:Boussinesq方程新的精确解·871·2[4Ω222)αDxf×f=2α1+(Ω-p0×槡α2+1+2槡α2(α2+1)(α2sinp(x-αt)e-Ω(x+αt)+(Ω2-p2)α+1)a0sin2×0a1×Ω(x+αt)
6、22槡-(α2+1)+2槡α2(α2+1)(α2+1)sinp(x-αt)e-a0p+2pΩa0×(x-αt)e2(x+αt)-×-Ω(x+αt)4cosp(x-αt)e-2pΩa0a1×22(α2Ω(x+αt)](6)α+1+2槡α+1)cosp(x-αt)e×22(α2D44α24+2(p4+Ω4)a-(α+1)+2槡α+1)xf×f=32Ω1+8a0p0×22(α2-Ω(x+αt)44)aα+槡α+1)3sinp(x-αt)e+2(p+Ω0a1×a0×22(α2Ω(x+αt)33)aα-槡α+1)sinp(x-αt)e-8(pΩ-pΩ0×-Ω(x+αt)33槡α2+1+2槡α
7、2(α2+1)cosp(x-αt)e-8(pΩ-pΩ)×sin(x-αt)×2Ω(x+αt)22a0a1cosp(x-αt)e-12pΩa0×槡-(α2+1)+2槡α2(α2+1)-Ω(x+αt)22e2(x+αt)+槡3α4+2α2-1asinp(x-αt)e-12pΩa0a1×0×Ω(x+αt)(7)sinp(x-αt)e槡α2+1+2槡α2(α2+1)cos(x-αt)×jζ(j=-1,0,2将式(5)~(7)代入式(3),使e1)的系数为零,得槡-(α2+1)
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