Boussinesq方程新的精确解.pdf

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1、第３５卷第４期武汉理工大学学报（交通科学与工程版）Ｖｏｌ．３５Ｎｏ．４２０１１年８月ＪｏｕｒｎａｌｏｆＷｕｈａｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙＡｕｇ．２０１１（ＴｒａｎｓｐｏｒｔａｔｉｏｎＳｃｉｅｎｃｅ＆Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ）Ｂｏｕｓｓｉｎｅｓｑ方程新的精确解杨琼芬杜先云杨立娟（绵阳师范学院数学与计算机科学学院绵阳６２１０００）摘要：以齐次平衡原则和试探函数法为基础，给出函数变换与双线性算子相结合的方法，构造了Ｂｏｕｓｓｉｎｅｓｑ方程新的精确解．关键词：齐次平衡原则；Ｂｏｕｓｓｉｎｅｓｑ方程；试探函数法；双线性算子中图法分类号：Ｏ１７５．２ＤＯＩ：１０．３９６３／ｊ

2、．ｉｓｓｎ．１００６－２８２３．２０１１．０４．０５３０引言子声波等，由于它可以用来描述２个相反方向传播的Ｋｄｖ孤波，也可以描述一维非线性晶格的振［６］动，因此，Ｂｏｕｓｓｉｎｅｓｑ方程的研究受到许多学随着非线性科学技术的不断发展，非线性科［７］学理论的研究问题在自然科学和社会科学领域当者的关注．中正在蓬勃发展．构造非线性发展方程精确解是孤立子理论的重要研究课题之一．目前，人们已１Ｂｏｕｓｓｉｎｅｓｑ方程的精确解经发现了很多有效的求解方法，如双曲正切函数［１］，齐次平衡法［２］，试探函数法［３］，辅助方程２法对于方程ｕｔｔ－ｕｘｘ－３（ｕ）ｘｘ－ｕｘｘｘｘ＝０（１）［４］［５］法，

3、ＥＸＰ－函数展开法等．令试探函数法是一种行之有效的用于求解非线ｕ＝２（ｌｎｆ）ｘｘ（２）性偏微分方程的方法，本文利用函数变换与双线式中：ｆ为待定函数．性算子相结合的方法，构造Ｂｏｕｓｓｉｎｅｓｑ方程新的将式（２）代入式（１）成双线性形式精确解．（Ｄ２２４）ｆ×ｆ＝０（３）ｔ－Ｄｘ－Ｄｘ经典的Ｂｏｕｓｓｉｎｅｓｑ方程形如其中双线性算子的定义为２）ｕｎ＋ａｕｘｘ＋ｂ（ｕｘｘ＋ｋｕｘｘｘｘ＝０Ｄｍｎ（－）ｍ（－）ｎ×ｘＤｔａ×ｂ＝′′式中：ｕ（ｘ，ｔ）为流体自由表面的运动；正常数ａ，ｂｘｘｘｘ′，ｔ′）｜依赖于流体的深度和长波的特征速度．ａ（ｘ，ｔ）×ｂ（ｘｘ＝ｘ′，ｔ＝

4、ｔ′Ｂｏｕｓｓｉｎｅｓｑ方程是一种能够描述规则波和不设－Ω（ｘ＋αｔ）Ω（ｘ＋αｔ）规则波在复杂地形上发生浅化、折射、绕射和反射ｆ（ｘ，ｔ）＝ｅ＋ａ０ｓｉｎｐ（ｘ－αｔ）＋ａ１ｅ效应相当有效的数学模型．１８７１年Ｂｏｕｓｓｉｎｅｓｑ考（４）虑垂向流速及压强分布的影响，假定垂向流速从则２［４Ω２２２２）α２底面零线性增加到自由表面的最大值，得到了Ｄｔｆ×ｆ＝２αａ１＋（Ω－ｐａ０×－Ω（ｘ＋αｔ）２２）α２Ｂｏｕｓｓｉｎｅｓｑ方程．考虑波浪传播的非线性变化，ｓｉｎ（ｘ－αｔ）ｅ＋（Ω－ｐａ０ａ１×Ω（ｘ＋αｔ）２２２１９６７年Ｐｅｒｅｇｒｉｎｅ推导了变水深条件下浅水区波ｓｉｎｐ（ｘ－

5、αｔ）ｅ－ａ０ｐα－２ｐΩ×２－Ω（ｘ＋αｔ）浪传播的Ｂｏｕｓｓｉｎｅｓｑ方程．后来Ｂｏｕｓｓｉｎｅｓｑ方程αａ０ｃｏｓｐ（ｘ－αｔ）ｅ＋２ｐΩ×２Ω（ｘ＋αｔ）］（５）也适用于其他的物理应用中，如等离子体中的离αａ０ａ１ｃｏｓｐ（ｘ－αｔ）ｅ收稿日期：２０１１－０３－１９杨琼芬（１９６５－）：女，副教授，主要研究领域为偏微分方程的精确解第４期杨琼芬，等：Ｂｏｕｓｓｉｎｅｓｑ方程新的精确解·８７１·２［４Ω２２２）αＤｘｆ×ｆ＝２α１＋（Ω－ｐ０×槡α２＋１＋２槡α２（α２＋１）（α２ｓｉｎｐ（ｘ－αｔ）ｅ－Ω（ｘ＋αｔ）＋（Ω２－ｐ２）α＋１）ａ０ｓｉｎ２×０ａ１×Ω（ｘ＋αｔ）

6、２２槡－（α２＋１）＋２槡α２（α２＋１）（α２＋１）ｓｉｎｐ（ｘ－αｔ）ｅ－ａ０ｐ＋２ｐΩａ０×（ｘ－αｔ）ｅ２（ｘ＋αｔ）－×－Ω（ｘ＋αｔ）４ｃｏｓｐ（ｘ－αｔ）ｅ－２ｐΩａ０ａ１×２２（α２Ω（ｘ＋αｔ）］（６）α＋１＋２槡α＋１）ｃｏｓｐ（ｘ－αｔ）ｅ×２２（α２Ｄ４４α２４＋２（ｐ４＋Ω４）ａ－（α＋１）＋２槡α＋１）ｘｆ×ｆ＝３２Ω１＋８ａ０ｐ０×２２（α２－Ω（ｘ＋αｔ）４４）ａα＋槡α＋１）３ｓｉｎｐ（ｘ－αｔ）ｅ＋２（ｐ＋Ω０ａ１×ａ０×２２（α２Ω（ｘ＋αｔ）３３）ａα－槡α＋１）ｓｉｎｐ（ｘ－αｔ）ｅ－８（ｐΩ－ｐΩ０×－Ω（ｘ＋αｔ）３３槡α２＋１＋２槡α

7、２（α２＋１）ｃｏｓｐ（ｘ－αｔ）ｅ－８（ｐΩ－ｐΩ）×ｓｉｎ（ｘ－αｔ）×２Ω（ｘ＋αｔ）２２ａ０ａ１ｃｏｓｐ（ｘ－αｔ）ｅ－１２ｐΩａ０×槡－（α２＋１）＋２槡α２（α２＋１）－Ω（ｘ＋αｔ）２２ｅ２（ｘ＋αｔ）＋槡３α４＋２α２－１ａｓｉｎｐ（ｘ－αｔ）ｅ－１２ｐΩａ０ａ１×０×Ω（ｘ＋αｔ）（７）ｓｉｎｐ（ｘ－αｔ）ｅ槡α２＋１＋２槡α２（α２＋１）ｃｏｓ（ｘ－αｔ）×ｊζ（ｊ＝－１，０，２将式（５）～（７）代入式（３），使ｅ１）的系数为零，得槡－（α２＋１）