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1、南京建筑工程学院学报2000年JournalofNanjingArchitecturaland第4期CivilEngineeringInstituteSumNo.55文章编号:1003-711X(2000)04-0037-04aBoussinesq方程组的精确解12邓晓卫,刘春平(1.南京建筑工程学院基础部,江苏南京210009;2.扬州大学理学院数学系,江苏扬州225002)摘要:通过引入适当的变换,采用直接积分的方法得到了Boussinesq方程组的三族显示精确解。关键词:变换;Boussinesq方程组;精确解中图分类号:O175.4文献标识码:ABoussinesq方程组Qt+A
2、ux+B(uQ)x=0(1)ut+CQx+Duux-Muxxt=0是描述深度一定的水槽中表面长波两向传播的数学模型,从形式上它可以看成耗散性和非线性影响同阶的一维波动方程的扰动。方程中u(x,t)表示波速,X(x,t)=1+DQ(x,t)表示槽中流体自由波面的高度。文[1]仅从理论上证明了方程组解的存在性,关于该方程组解析解的直接获得至今未见有报道。以简洁的形式表示非线性方程的解析解对实际问题的研究是极有价值的。近年来,人们[2-5]在这方面进行了许多研究,但多为单个非线性方程。本文通过适当的变换,采用直接积分法得到了Boussinesq方程组的三族精确解。1Boussinesq方程组的
3、精确解为讨论方便且不失一般性,不妨设C=D=M=1。我们研究方程组:Qt+Aux+B(uQ)x=0(2)ut+Qx+uux-uxxt=0设方程组(2)有行波解:u=u(N)=u(x-ct)Q=Q(N)=Q(x-ct)把上式代入方程组(2)得:a收稿日期:2000-03-17作者简介:邓晓卫(1964-),女,土家族,湖北巴东人,副教授,硕士.38南京建筑工程学院学报2000年-cQ′+Au′+B(Qu)′=0(3)-cu′+Q′+uu′+cuÊ=0(4)dudQ这里u′=,Q′=。将方程(3)对N积分并整理得:dNdNK1-AuQ=(5)Bu-c方程(4)对N积分一次得:12-cu+Q+
4、u+cu″=K2(6)2其中K1,K2为积分常数。将(5)代入(6)整理得一个关于u的二阶非线性微分方程:2B3c2cBuu″-cu″+u-cB+u+au+K=0(7)222这里a=c-BK2-A,K=K1+cK2。设方程(7)有如下形式的解:1/23/2u=D+Fv,v′=Av+Bv(8)12322式中A、B、D、F为待定常数,且A·B·F≠0。则u″=AF+2ABFv+BFv,22将u与u″的表达式代入(7)整理得一个关于v的三次代数方程,令v的各次幂的系数为0,有:3322B3v∶cBBF+F=0(9)2223223223212v∶cBBDF+2cBABF-cBF+BDF-B+cF
5、=0(10)2222122232v∶2cBABDF+cBAF-2cABF+BDF-(2B+1)cDF+aF=0(11)220121221312v∶cBADF-cAF+BD-B+cD+aD+K=0(12)2222由(9)得:2F=-3cB(13)(13)代入(10)化简整理得:D-cAB=-(14)2c再把(13)(14)代入(11)同时注意到a的表达式,经过整理可得一关于D的二次代数方程:222BD-2BcD-(3B+8)c+8(c-A-BK2)=0不难求出:KD=c±(15)B13式中,K=4B2c2+8AB+8B2K222。积分v′=Av+Bv得到:AB<0:A2ABv=-tanh(
6、N+N0)(16)B2第4期邓晓卫等:Boussinesq方程组的精确解39或A2ABv=-coth(N+N0)(17)B2AB>0:A2ABv=tan(N+N0)(18)B2由(14)(15)式,且不失一般性可设B>0知:KK当D-c=时,AB=-<0;B2cBKK当D-c=-时,AB=>0;B2cBK1-Au综上,把(13)(15)及v的三族解(16)(17)(18)分别代入u=D+Fv,Q=,即得Bu-cBoussinesq方程组的三族显式精确解:K3K21Ku=c-+sech(N+N0)2B2B22cB(Ⅰ)A2BK1-2AcQ=-+B21K2cB(B-1)-BK+3BKsech
7、(N+N0)22cBK3K21Ku=c-+csch(N+N0)2B2B22cB(Ⅱ)A2BK1-2AcQ=-+B21K2cB(B-1)-BK+3BKcsch(N+N0)22cBK3K21Ku=c+-sec(N+N0)2B2B22cB(Ⅲ)A2BK1-2AcQ=-+B21K2cB(B-1)+BK-3BKsec(N+N0)22cB2几点说明:1)在第(Ⅰ)族解中u为孤波解,这对实际问题的研究具有一定的意义。22)由u=D+Fv,F=-3
