扩展映射法与Boussinesq方程新的精确解

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1、2011年9月安徽大学学报(自然科学版)September2011第35卷第5期JournalofAnhuiUniversity(NaturalScienceEdition)Vol．35No．5扩展映射法与Boussinesq方程新的精确解*纪建成，信春刚，韩家骅(安徽大学物理与材料科学学院，安徽合肥230039)摘要:运用扩展映射法，结合辅助方程，利用计算机代数系统Mathematica求出Boussinesq方程一系列新的精确周期解，这些精确解在极限情况下(m→1)退化为相应的孤波解．该方法也可用来

2、求解其他非线性演化方程，如Klein-Gordon方程和Benjamin方程等．关键词:映射法;辅助方程法;非线性演化方程;精确解;周期解中图分类号:O415文献标志码:A文章编号:1000－2162(2011)05－0046－06TheextendedmappingmethodandnewexactsolutionsforBoussinesqequation*JIJian-cheng，XINChun-gang，HANJia-hua(SchoolofPhysicsandMaterialScience，A

3、nhuiUniversity，Hefei230039，China)Abstract:Bymakinguseofextendedmappingmethodandauxiliaryequationforfindingnewperiodicwavesolutionsofnonlinearevolutionequationsinmathematicalphysics，weobtainedsomenewperiodicwavesolutionsforBoussinesqequation．Whenthemodulu

4、sm→1，thesesolutionsdegeneratedintosolitarywavesolutions．ThismethodalsocouldbeusedtofindnewperiodicwavesolutionsofothernonlinearevolutionequationssuchasKlein-GordonequationandBenjaminequation，etc．Keywords:extendedmappingmethod;auxiliaryequationmethod;nonl

5、inearevolutionequations;exactsolutions;periodicsolutions科学技术的发展及实际应用使人类面临大量的非线性问题，非线性科学正成为跨学科的前沿，在物理、化学、生物等各个领域都有着广泛的应用．因此，寻找非线性发展方程新形式的精确解是一件有意义［1－3］［4－5］的工作．近年来，研究人员对求解非线性发展方程提出了许多方法，如齐次平衡法、双曲函数法、［6］［7］［8－9］［10］［11］Sine-Cosine方法、Jacobi椭圆函数展开法、Exp函数法、Hi

6、rota方法、逆散射变换法、Back-［12－13］Iund/Darboux变换法等．然而，上述方法均存在自身的局限性，对多种类型的非线性演化方程，没［14－15］有统一的求解方法．采用扩展映射法不仅能够求得非线性方程的周期波解，而且可以得到冲击波解和孤波解．［16］由Peregrine给出的适用于变化水深的经典Boussinesq方程，仅适用于弱非线性和弱色散性．近年来许多学者致力于推导和求解其他形式的Boussinesq方程，使其能应用到相对水深较大的范围，其收稿日期:2010－11－08基金项目:

7、安徽省科技厅年度基金重点资助项目(01041188);安徽省省级精品课程建设基金资助项目作者简介:纪建成(1985—)，男，湖北大冶人，安徽大学硕士研究生;*韩家骅(通讯作者)，安徽大学教授，硕士生导师，E－mail:jiahuahan@sina．com．引文格式:纪建成，信春刚，韩家骅．扩展的映射法与Boussinesq方程新的精确解［J］．安徽大学学报:自然科学版，2011，35(5):46－51．第5期纪建成，等:扩展的映射法与Boussinesq方程新的精确解47中文献［17］得到了一个由椭圆函

8、数表示的精确解，文献［18］利用双曲函数展开法得到了Boussinesq方程多组新的行波解，文献［19］利用Jacob椭圆函数法得到了部分周期波解．作者利用扩展映射法求得了Boussinesq方程的一系列新的精确解，形式更加丰富，并对部分退化后的孤波解和三角函数解进行计算机图形模拟．1扩展映射法简述利用扩展映射法求解非线性发展方程，可大致分为以下三个步骤:步骤I对于给定的非线性方程N(u，ut，ux，utt，uxt，uxx，…)=0，(1)