应用拓展双曲函数方法求kp方程的新精确解

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1、2010年8月纯粹数学与应用数学Aug．2010第26卷第4期PureandAppliedMathematicsV_01．26NO．4应用拓展双曲函数方法求KP方程的新精确解张睿，张玉春，王彬弟(西北大学数学系，陕西西安710127)摘要：本文引入行波解，并应用拓展双曲函数方法，求得(2+1)维Kadomtsev—PetviashvilifKP)方程的精确解．通过应用拓展双曲函数方法，可以得到关于方程的一类有理函数形式的孤立波，行波以及三角函数周期波的精确解，并且此方法适用于求解一大类非线性偏微分进化方程．关键词：双曲函数方法；Kadomtsev-

2、Petviashvili方程；行波解中图分类号：O175文献标识码：A文章编号：1008-5513(2010)04-0651—051引言可积非线性KdV方程Ut+auu。+U。=0含有线性色散项。。和非线性对流项UU。允许孤立子并且将孤立子定义为局部波，这些局部波在传播的过程中对于相互的碰撞不会改变它们的形状，速度以及稳定性[1-3]．而可积Kadomtsev-Petviashvili(KP)方程【4】属于KdV方程的一类．随着对于g(n，n)方程即t+凸()+(U”)。=0精确行波解的确定，我们引入了与此相关的具有两个空间变量与一个时间变量的(2

3、+1)维KP(n，扎)方程即(Ut+a(un)z+b(t)zz)+ku=0．基于文献【5．7】引入拓展双曲函数方法【8】并可以得到一类有理函数形式的孤立波解，行波解以及三角函数周期波解．本文通过拓展双曲函数方法求KP(2，1)即一札缸+6u2+6uu+Uxzzz+U=0∞：的精确行波解．2过程和结果考虑如下的一个含有两个变量的非线性偏微分方程：e(u，U，Ut，Uz，Uxt，⋯)=0，(1)P是一个非线性函数，下标代表偏导数．令u(x，t)=()，∈=—ct，则方程(1)变为一个常微分方程：Q(u，U，U，U，⋯)=0，收稿日期：2010—07-1

4、3．作者简介：张睿(1986-)，硕士生，研究方向：偏微分方程方向652纯粹数学与应用数学第26卷首先，假设方程(2)的解的形式为：nu(x，￡)=u()=∑0t((，(3)i=0系数ai=1，2，⋯，n)是一组待确定的系数．=(∈)分别满足如下一阶非线性常微分方程：dv，==丽6∈，妻：n+6(5)遍过半衡万程(2)甲最商r导数坝与非线任坝口J以确足多坝瓦日可幂次n．将乃程(3)1弋入方程(2)，利用关系(4)，(5)式并让关于各阶的系数为零，可以分别得到关于啦(=1，2，⋯，扎)，a，b的代数方程．通过数学软件Mathematica以及Mapl

5、e的帮助，可以进一步确定待解参数ai(=1，2，⋯，扎)，a，b．特别指出的是方程(4)，(5)有如下特解：)一、／詈csch[(+>0，)=、／sec(∈+凸<016>0，)=√sech[(+，016<0，)=1／／csc(+<0，6<0，)：exp[v~+)]，a>0，b=0，()=c0s【、／，(∈+)】+isin[x／-Za(~+)】，n<0，b：0，()，O,b，()=士隶丙，。：0，6<0，(6)和)gn(。)、／詈tan【(+’06>0，)=一sgn(。)、／詈cotIVY(4+，曲>0，()=sgn(a)~tanh[(∈+)]，n6

6、<0，()=sgn(口)~coth[42-~(4+)】，口6<0，()一南，口=O,b>0，第4期张睿等：应用拓展双曲函数方法求KP方程的新精确解653运用方程(3)，(6)式或者(3)，(7)式，分别可以得到非线性偏微分方程(1)的多种精确特解考虑如下的Kadomtsev—Petviashvili(KP)方程：一Utz+6u2+6uu+U∞：∞：+=0zz假设Kadomtsev-Petviashvili方程有行波解：u(x，Y，t)=札(∈)=(+Y—c)这里C是待定系数．将方程(9)代入方程(8)中得+3(u。)《++=0(10)将方程(10)

7、关于积分并忽略积分常数得：c+1)u+3u+∈=0平衡方程(11)中的札艇，U得：n+2=2n，从而有n=2，即方程(11)的解的形式为：2钆()=∑。t((=n0+01(∈)+a2v2(∈)，(12)i=0这里a0，al，a2是待定常数．2．1方法1将方程(12)代入方程(11)并利用关系(4)可得关于的代数方程：(c+1)(ao+alv+ra2v)+3(03+n；+口；+2a0a1V+2a0a2v。+2ala2v。)+(alav+2a1bv。+4aa2。+6a2by4)=0(13)关于Vi()(=0，1，⋯，4)进一步整理方程(13)并且令(∈

8、)相应的系数为零可得：(c+1)ao+3a3=0，(c+1)al+6a0al+ala=0，(c+1)a2+3a；+6a0血