推广Riccati函数展开法求Burgers方程新的精确解-论文.pdf

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1、第21卷第3期辽东学院学报(自然科学版)V01．21No．32014年9月JournalofEasternLiaoningUniversity(NaturalScience)Sept．2014【基础科学理论与应用】推广Riccati函数展开法求Burgers方程新的精确解马云峰(青岛理工大学琴岛学院基础部，山东青岛266033)摘要：文章应用推广方程法Riccati函数展开法求Burgers方程的解，获得了Burgers方程一系列新形式的精确行波解，这些解包括三角函数解、双曲函数解。并借助于Matlab对精确解进行数值模拟，得

2、到精确解的直观表示。关键词：Burgers方程；推广Riccati函数展开法；精确解中图分类号：0175文献标志码：A文章编号：1673—4939(2014)03—0211-03人们在研究液体内部含有气泡的流动以及弹性首先，假设有非线性偏微分方程管道中的液体流动等问题时提出了Burgers方程，H(，1，，，⋯)=0(4)其在流体力学、固定力学、等离子物理学科中被广引入变换泛应用．2j，为了揭示这些领域中非线性现象的本(，)=，，)=(，￡)(5)质以及让Burgers方程能够更好的应用到这些领域其中为待定函数。假设方程有如下

3、形式的解中，就需要解出Burgers方程的精确解。自从发现，t，)=．口(，t)()(6)Burgers方程的孤波解或者孤立子以来，在理论和数值方面已经出现了许多重要的文献来发展其孤子其中()满足广义的Riccati方程(3)，把(6)代入理论，因此求得Burgers方程更多的新的精确解受(4)，令()的系数为0，则得到代数方程组，解出到了众多数学、物理工作者的关注，它们对理论和方程组，求出相应的未知数，再代入方程(4)，得出应用的研究都有重要的价值。方程(3)的解为：Burgers方程的形式为：(1)当p=1。q=0时，Ri

4、ccati方程(3)便有形如l‘l++卢啊=0(1)(7)式的解文章主要讨论应用Ricatti函数展开法求(1)f昌一-tBnh()r<0式的精确解。I譬一_ooth(4"L~)r<01Riccati函数晨开法步骤{昌一I1r-0(7)在文献[4]中，采用的Ricatti方程为l=历Enh(庸)r>0()=()+6()(2)【=0th()r>0在文章中，采用广义的Rieatfi方程(2)当Pq0，r=0时()-／up()+()+，(3))宣(8)其中p，g，r为任意整数。收稿日期：2014—05—21作者简介：马云峰(1978

5、一)，男，辽宁营口人，讲师，研究方向：偏微分方程。·21l·辽东学院学报(自然科学版)第21卷(3)当p#O，q#O，r#O，P一4qr>O时：k一(CP(17)口e盼一)【釜竺(2)当P≠0，g≠0，r#O，P一4qr>0-1E_q_：一。th()]一侧g+tanh()]l一咧g一coth(盥)]c号一tanhc(18)【=-口1E号+。thc](10)(3)当p≠O，q#0，r#0，P一4qr<0一州g一了tanh()]-1c为常数(11)=一g+c)](19)2Riccati函数展开法应用f4)当D≠0．口=r=0时首先

6、，引入一个变换一+“(，t)=／，t，)(12)燕c为常数(20)则式(1)变为根据文献[5]定理：当非线性演化方程有tanh峨++=0(13)一型解(，t)：P(tanh峰)时，则它必有tanh—其中是k和tt(x，t)有关的任意常数。sech一型解tt(x，t)=P(tanh2k~±isech2堪)；当有根据与项的平衡，可知m=1；于是u(x，t)=P(coth~)时，则它必coth—csch一型解；所，t，)设具有如下形式以根据(19)式可以有1，(，t，)=n(，t)‘()(14)+q圻l8lI)]将(1)带人式子(1

7、2)，令‘的系数为0，则得到侧目+sc^)]代数方程组aL~rk+口0口lrk+口t=0(21)口1+／3(q。+2pr)ka1+qkao0l+qwa1=O根据文献[5]定理：非线性演化方程如果有tan一型解tt(x，t)=P(tan蟮)时，则它必有M(，t)qka1+3／3pqa1k+pkal00+pwal=0=P(tan2培士sec2／q)；如果它cot一型解tt(x，t)印口l+2／3kP。l=0=P(cot／q)时，则它必有cot一{35{3一型解U(X，t)(15)=P(cot2k~±csc2蟮)，所以根据(20)式

8、有解方程组(15)得到惭俪咖俪sec俪)]口=O，0。，P，q，r，，，k为任意常数ro1=一侧g俪eot佩佩)]i口。：一=-一后≠。6(221根据(16)式得出式子(1)的精确解为(1)当Pq≠0，r=0时，·2】2·辽东学院学报(自然科学版)第21卷Asymptotic