G)-展开法求广义的(2+1)维ZK-MEW方程的新精确解

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1、2011年6月纯粹数学与应用数学Jun．2011第27卷第3期PureandAppliedMathematicsVo1．27No．3利用(G，／c)一展开法求广义的(2+1)维ZK．MEW方程的新精确解赵云梅，杨云杰2，李薇(1．红河学院数学学院，云南蒙自661100；2．昆明学院数学系，云南昆明650031)摘要：结合齐次平衡法原理并利用(G／G)一展开法，研究了广义的(2+1)维ZK—MEW方程的精确解，从而得到了广义的(2+1)维ZK—MEW方程的用双曲函数和三角函数表示的通解，当双曲函数通解中常数取特殊值时，便得到广义的(2+1)维ZK—MEW方程的孤立波

2、解，获得了与现有文献不同的新精确解．关键词：广义的(2+1)维zK—MEW方程；齐次平衡法；(GIC)一展开法；精确解；孤立波解中图分类号：O175．2文献标识码：A文章编号：1008—5513(2011)03—0322—051引言在非线性偏微分方程的研究领域中，寻求方程的精确解一直是一个热点问题，近几年来，人们发展了许多有效的求精确解的方法，如逆散射法[1】1Backlund变换【2】lHirota变换[31，Darboux变换【4】’齐次平衡法【5—6_，推广的tanh法F一展开法[8】1Exp-函数法【9】等．最近，由文献f101提出了(G／G)一展开法，并

3、成功地获得了一些非线性演化方程的精确解．本文将对G／c一展开法应用于高维非线性偏微分方程的求解进行新的探索．广义的f2+11维ZK—MEW方程【l1j：￡+a(u“)z+(but+r)。=0，(1)其中a，b和r是任意常数．2005年文献[11]利用sine—cosine方法和tanh展开法研究了方程(1)，2009年文献[12]利用F一展开法再次研究了方程(1)，得到了许多的精确解．本文将利用(G／c)一展开法来求解(2+1)维ZK—MEW方程，从而得到了与目前现有文献不同的新精确解．2广义的(2+1)维ZK—MEW方程的精确解对方程(1)引入变换u(，Y，t)

4、=u(∈)，∈=X+Y—wt，代入(1)式得u+anun-iu+(r一)=0收稿日期：2010—12—12．作者简介：赵云梅(1972一)，副教授，研究方向：偏微分方程第3期赵云梅等：利用(G／a)一展开法求广义的(2+1)维ZK—MEW方程的新精确解323其中u表示对∈求导，将方程(2)的两边对积分一次，取积分常数为零得?上+au+(r—bw)u=0，设方程(3)的解能用(G／c)的形式表示：i6(=0、其中G(∈)满足以下二阶线性常微分方程(LODE)：G+AG+G=0(5)把(4)式和(5)式代入(3)式，利用齐次平衡法，平衡“和∑／，●()==()．一／、

5、●／则M：一一．竹一1为了获得解析解，M应该是一个正整数，因此做变换：把(8)式代入(3)式得：一(礼一1)+a(n一1)。+(r一6)(2一佗)王，+(r一6)(n—1)uu=0又设方程(9)能用(G／G)的形式表示(∈)(10)其中G=G()满足(5)式，平衡／]／／和。取Ⅳ=1，即方程(9)的解可以表示为。()(罟)一≠。(11)由(11)式结合(5)式得，：c∈=一(口+c。+2nz()斗一cal+2a2A)()~2a2()。)，02(f)=2z2+。+(6。z+2。+n)(罟)+(8a2#+3alA+4a2A2)()+c2al+10a2A)()。+6a2

6、(324纯粹数学与应用数学第27卷把(11)一(13)式代入(9)式，可将方程(9)的左边化为()的多项式．令(百et)的各次幂项的系数为零，得到关于ai(i=0，1，2)，的一组代数方程组，利用Maple求解得：2#r(1+n)2Ar(1+n)a0al0(6(4一)一(n—1))0(6(4一)一(n～1))’!!±2．(4一)ra2U=6(4一0)一(n一(14)0(6(4一)一(n一1))’当一4=0时方程(1)的解没有物理意义，本文不再加以讨论，下面对A一4的取值大于零和小于零两种情况进行讨论．情形1当一4>0，由(5)式可得：．：一+—V@-4#—G(∈)

7、2‘2．’．(15)cosh∈+c2sinh{蕊把(14)，(15)式代入(11)式得到方程(9)的解为：砌A2)r其中=+一(4入#2-)～(一1)。．由(8)式可得广义的(2+1)．维ZK—MEW方程的双曲函数形式的精确解瘊咖((一(糯)。))7，其中和是任意常数，当1或取特殊值时，便得到方程(1)的孤立波解i)若c2=0，则有怨((se))击．ii)若1=0，则有(一(cs出z∈))．由(14)式知=(4#-A2)r，当分母取为1时，即b(4tt一。)一(n一1)。：1得b=4~-A2，则：(一X2)r代入(18)，(19)式可得((sech压＼)))，(r

8、—bw)>