G)展开法和Zakharov方程组的新精确解

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1、物理学报ActaPhys．Sin．Vo1．62，No．20(2013)200202扩展的(G，／G)展开法和Zakharov方程组的新精确解水尹君毅干(河南农业大学信息与管理科学学院，郑州450002)(2013年4月9H收到；2013年7月30H收到修改稿)对(G／o)展开法进行了扩展，引入了新的辅助方程，对(G／o)展开式附加了负指数幂，并利用扩展的(Gt／G)展开法求出了Zakharov方程组的一些新精确解．该方法还可被应用到其他非线性演化方程中去．关键词：(G／G)展开法，Zakharov方程组，精确解PACS：02．30．Jr,02．30．Ik，02．30．

2、HqDOI：10．7498／aps．62．200202i+一6uv=0(1)1引言是描写等离子体的高频运动或非线性光波的模型，其中u是离子的数密度偏差，1，是电场强度的慢变求非线性演化方程的精确解是非线性科学中振幅，c是电子．离子热运动速度，a，为常数．文的重要研究课题，多年来人们为此做了大量的工献[16，7】分别用扩展的双曲正切展开法、椭圆函作，取得了一系列重要成果[1-39】，如创建了齐次数展开法求出了该方程组的多个精确解．平衡法[112]、双曲正切展开法[3,41、反散射法【5]、本文将fG'／G)展开法进行了扩展，引入了新截断展开法[6]、椭圆函数展开法[7I

3、8】等重要方法．的辅助方程．以往的文献都以线性方程最近，Wang等[9】提出了(G'／G)展开法，并利用该G”+．uG+．；LG=0(2)方法求出了多个非线性方程的精确解．文献[10]为辅助方程[xo,12-1s]．本文所引入的辅助方程为非利用(G'／G)展开法求高维非线性演化方程，求出线性方程，方程(2)是新的辅助方程的特殊情形，新了ANNV系统的三种形式的精确解，文献[11】将辅助方程(7)的通解包含方程(2)的通解．同时，对fG'／G)展开法推广到变系数非线性演化方程，并fG'／G)展开式附加了负指数幂，这样利用扩展的成功地求出了两类变系数非线性KdV方程的精(

4、G'／G)展开法使我们可以得到更丰富的精确解．同确解．在新近发表的文献[12一l5]中，文献[14】对时本文利用扩展的(G'／G)展开法求出了ZakharovfG'／／G)展开法的辅助方程做了改进，将方程(2)或方程组的一些新的精确解．一类椭圆方程作为辅助方程，利用方程(2)的通解及椭圆方程的特解构造了变系数(2+1)维Nizhnik—2扩展的(G／c)展开方法概述Novikov．Vesselov方程的三孤子解．文献【l5】在解的(G／G)展开式中附加了负指数幂，并利用辅助步骤1对于非线性演化方程方程(2)及新型的展开式求出了两类方程的精确H(u，Uf，Ux，UUt，

5、Uxx，⋯)=0，(3)解．上述文献中所用的辅助方程(2)若改用新的辅日是U及U关于，t各阶导数的多项式．首先对(3)助方程(7)可获得更丰富的精确解．Zakharov方程组式做行波变换u(x，t)=H(专)，=一f+，(4)％一‰一a(Ivl=0，}河南农业大学基金(批准号：30300204)资助的课题t通讯作者．E—mail：yiy2000211@163．corn④2013中国物理学会ChinesePhysicalSociety九ttp：／／／wulixb．伽，．8c．cn物理学报ActaPhys．Sin．Vo1．62，No．20(2013)200202其中k，为

6、待定常数．经变换(4)式，方程(3)就化(6)，(7)式中的，卢，y，ai均为待定系数，正整数m为如下常微分方程：由齐次平衡法确定．步骤3将(6)式连同方程(7)代入方程H(u，ItIU，⋯)：0，(5)(5)合并(G／G)的相同幂次项，令(G'／G)的各其中，=，=d2u，⋯，是含及对考各次幂的系数为零，然后就得到了一个关于变量阶导数的多项式．ai(i=l，2，3，⋯，)，，卢，y的超定代数方程组步骤2设常微分方程(5)的解为NAES．步骤4求解上述NAEs，得到ai(f=1，2，=)i+-1(㈣3，⋯，m1的若干解．i=0步骤5把步骤4中得到的各组解连同(7)式其

7、中G满足如下形式的常微分方程：的解代回(6)式就得到了原方程(5)的多个精确解．G"G：aGl+[3GG'+，(7)直接计算方程(7)可得cnh(孚考)+C2cosn(V／~2+4y-考)csh(孚)坳inn(V／—fl2+4Y—-4aYe))+G(考)nG(考)(学考)。s()、．卢2(1一)。s()+n(v／4aY2fl2-4y~)1(+)(4(a一1)y一卢=0，≠1)其中，Cl，为任意常数．+(co-pp2)一3=0．(11)3Zakharov方程组的新精确解平衡(11)式非线性项及最高阶项得=1，于是方程(11)的解具有形式为对方程组(1)