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《Jaulent_Miodek方程组和长水波近似方程组的新精确解》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、第20卷第1期大学数学Vol.20,№.12004年2月COLLEGEMATHEMATICSFeb.2004Jaulent-Miodek方程组和长水波近似方程组的新精确解12刘晓平,刘春平(1.扬州教育学院高邮分院,高邮225600;2.扬州大学数学科学学院,扬州225002)[摘要]首先,利用直接代数法给出了一类非线性方程的四组显式精确解的公式.进而,很方便地得到了Jaulent-Miodek方程组和长水波近似方程组的若干新精确解.[关键词]非线性发展方程;精确解;代数方法[中图分类号]O175.2[文献标识码]A[文章编号]1672-1454(2004)01-0042-071引
2、言本文考虑如下两个非线性耦合方程组(i)Jaulent-Miodek方程组3ut+vx+uux=0,(1)a211vt+uxv+uvx-uxxx=0.(1)b24[1]方程组(1)是与位势依赖于能量的特征值问题相联系的非线性发展方程,文献[2]通过将其Lax对非线性化,得到了它的有限带势解.(ii)长水波近似方程组1ut-uux-vx+uxx=0,(2)a21vt-(uv)x-vxx=0.(2)b2[6]方程组(2)是Witham和Broer在研究浅水波运动过程中首次提出的,文献[3-5]利用齐次平衡法和[7]Sine-Cosine方法得到了它的孤子解、多孤子解和若干有理形式的精确
3、解.本文旨在进一步求上述两个方程组的显式精确解.首先,我们考虑一类非线性常微分方程23u″=k0+k1u+k2u+k3u,k3≠0,(3)其中ki(i=0,1,⋯,3)是一些参数,一撇表示d/d.在本文第三节可以看到,方程组(1)和方程组(2)的行波解可以归结为方程(3)的求解.此外,方程(3)联系着其它许多具有重要物理背景方程的研究(见本文第四节).对方程(3),其显式解可以用齐次平衡法或Sine-Cosine方法求得,但在本文第二节中,我们将用另一种方法——直接代数法构造它的显式解.直接代数法的优点是得到的显式解是以公式形式表示的,进而,我们可以很方便地得到Jaulent-M
4、iodek方程组和长水波近似方程组的若干新精确解.[收稿日期]2002-09-09[基金项目]国家自然科学基金(10171088)和江苏省教委自然科学基金(01K,JB110008)资助第1期刘晓平,等:Jaulent-Miodek方程组和长水波近似方程组的新精确解432直接代数法和方程(3)的四组显式精确解首先,我们用直接代数法给出方程(3)的显式精确解.注意到方程(3)中最高阶导数项和非线性项分3别为u″和u,为了它们能够平衡,设方程(3)的解为a0+a1yu=B+2,y=expA(+0),(4)1+yi其中B,A和a0,a1是一些待定常数,0是一个任意常数.将(4)式代
5、入(3)式,令y的系数为零,可得到一个关于B,A和a0,a1的代数方程组,即623y:k0+k1B+k2B+k3B=0,522y:(k1+2k2B+3k3B-A)a1=0,4222y:(k1+2k2B+3k3B-4A)a0+(k2+3k3B)a1=0,322y:(8A+2a0k2+6a0k3B+a1k3)a1=0,222222y:2(k1+2k2B+3k3B+2A)a0+(k2+3k3B)(a0+a1)+3a0a1k3=0,1y:[2(k2+3k3B)+3a0k3]a0a1=0,022y:[k1+2k2B+3k3B+(k2+3k3B)a0+k3a0]a0=0.(5)我们寻找的是方程
6、的非平凡解,故分如下三种情况考虑代数方程组(5)的解情形(i)a0=0,a1≠0;情形(ii)a0≠0,a1=0;情形(iii)a0≠0,a1≠0.经过一些简单和直接的计算,可以得到代数方程组(5)的三组解222k228k2k2A=k1-,a0=0,a1=-k1-,B=-;(6)3k3k33k33k32221k224k2a0k2A=-k1-,a1=0,a0=-k1-,B+=-;(7)23k3k33k323k3222k2224k2a0k2A=-2k1-,-a1=a0=-k1-,B+=-;(8)3k3k33k323k3其中参数ki之间有约束关系2327k0k3-9k1k2k3+2k2=
7、0.(9)将(6)-(8)分别代回(4)式,我们得到公式1当参数ki满足(9)式时,方程(3)有显式精确解k2a1u1()=-+sechA1(+0),(10)3k322222其中A1=(k1-k2/3k3)>0,a1=-8A1/k3>0.k2a0u2()=--tanhA2(+0),(11)3k322222其中2A2=-(k1-k2/3k3)>0,a0=8A2/k3>0.k2a0u3()=--[tanhA3(+0)±isechA3(+0)],(12
