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《变系数浅水波方程的精确解》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第35卷第5期数学的实践与认识Vol135No152005年5月MATHEMATICSINPRACTICEANDTHEORYMay,2005变系数浅水波方程的精确解许晓革(1.北京航空航天大学理学院,北京 100083;北京信息工程学院基础部,北京 100101)摘要:均衡作用法给出了一种求非线性发展方程孤波解的有效方法.利用该方法,运用计算机符号计算,求出了变系数的一般浅水波方程的孤子解.关键词:均衡作用法;计算机符号运算;变系数的一般浅水波方程1 引 言 随着科学技术的发展,非线性科学在自然科学和社会科学领域的作用越来越重要,对于非线性问题的关注也越来越大,而对这些非线性问题所带来的
2、一些非线性方程的求解一直是物理学家和数学家关心的核心问题,尤其是求解这些方程的具有物理意义的孤子解.到目前为止,人们已提出了许多求解非线性发展方程(组)的有效方法,如反散射方法、[1—4]Backlund变换法、Hirota方法以及均衡作用法,其中均衡作用法是近年来发展起来的求非线性发展方程孤波解的一种十分有效的新方法.本文利用该方法,借助于计算机符号运算,求出了变系数的一般浅水波方程的孤波解,常系数的一般浅水波(generalizedshallowwaterwave,简写为GSWW)方程为:Uxxxt+AUxUxt+BUtUxx-Uxt-Uxx=0(1)[5—6]其中A,B为非零常数,变量
3、源自Boussinesq近似的古典浅水理论,Hietarinta在[7]中讨论了在A=B或A=2B下,GSWW方程能表示成Hirota′s的双线性形式.ClarksonandMansfield在[6]中证明了A=B或A=2B时方程(1)完全可积,且用反散射方法证明了此时它是可解的.本文讨论更一般的变系数的GSWW方程:Uxxxt+a(x,t)UxUxt+b(x,t)UtUxx-Uxt-Uxx=0(2) 当a(x,t),b(x,t)为常数时,即为方程(1).2 均衡作用法考虑方程(2)有一般形式的解qU(x,t)=W(5t,5x,t,x){r[w(x,t)]}(3)q其中W是微分算子,r(w
4、)是一个微分函数,w(x,t)是x,t的函数,下面我们假定微分算子qilW=5x5t,则(3)为下列形式jlU(x,t)=5x5tr[w(x,t)]j+3l+1其中j,l是整数,Uxxxt中所含wx与wt的最高阶项为wxwt,同理UxUxt及UtUxx所含wx收稿日期:2005203224基金项目:北京市教委科技发展计划项目(KM200410772002)226数 学 的 实 践 与 认 识35卷2j+22l+1与wt的最高阶项均为wxwt,由孤波产生的物理机制,即最高阶导数项与最高阶非线性项的作用达到平衡知这两项应有相同的次幂,即j=1,l=0,故U=5xr[w(x,t)](4)3 计算r
5、(w)假设a(x,t)≠0,b(x,t)≠0,且ax=bx=0(5)把(4),(5)代入(2)得:2344(5)4-rÊwtwx-rÊwx+a(t)r″rÊwtwx+b(t)r″rÊwtwx+rwtwx-2r″wxwxt233(4)3+2a(t)(r″)wxwxt+b(t)r′rÊwxwxt+4rwxwxt-r″wtwxx-3r″wxwxx22222(4)2+a(t)(r″)wtwxwxx+3b(t)(r″)wtwxwxx+a(t)r′rÊwtwxwxx+6rwtwxwxx2+2a(t)r′r″wxwxtwxx+3b(t)r′r″wxwxtwxx+12rÊwxwxtwxx+a(t)r′r″w
6、twxx2222+3rÊwtwxx-r′wxxt+a(t)r′r″wxwxxt+6rÊwxwxxt+a(t)(r′)wxxwxxt2+6r″wxxwxxt-r′wxxx+b(t)r′r″wtwxwxxx+4rÊwtwxwxxx+b(t)(r′)wxtwxxx+4r″wxtwxxx+4r″wxwxxxt+r″wtwxxxx+r′wxxxxt=0(6)4 令wx与wt乘积的最高次幂wxõwt的系数为0,得(5)a(t)r″rÊ+b(t)r″rÊ+r=0(7) 为使上式成为r(w)的常微分方程,令c=a(t)+b(t)=const≠0(8)(5)即cr″rÊ+r=0(9)解之得:r(w)=hl
7、nw(10)12其中h=(11)c″″ 分别令(6)式中r(w)的各阶导数r,rÊ,r″,r′的系数为0,得:32h324wxwxt+6wtwxwxx-[2a(t)wxwxt+a(t)wtwxwxx62h32+3b(t)wtwxwxx]-[b(t)wxwxt+a(t)wtwxwxx]=0(12)323hh2-wtwx-wx-b(t)wxwxtwxx+3-a(t)wtwxx22h2h+6-a(t)wxwxxt
