用叠加法求burgers—kdv方程的精确解析解

《用叠加法求burgers—kdv方程的精确解析解》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、2OO5年3月四川师范大学学报(自然科学版)Mar．，2005第28卷第2期JournalofSichuanNormalUniversity(NaturalScience)V01．28．No．2用叠加法求Burgers—KdV方程的精确解析解刘辉，谢元喜2(1。湖南人文科技学院物理与信息工程系，湖南娄底417000；2．湖南大学工程力学系，湖南长沙410082)摘要：基于对Burgers方程、KdV方程和Burgers-KdV方程特点的分析，提出了一种由Burgers方程的解和KdV方程的解构造Burgers-KdV方程的解的叠加法，并用该法求得了

2、Burgers-KdV方程的解，所得结果与已有结果完全吻合．关键词：Burgers-KdV方程；叠加法；精确解析解中图分类号：O411．1文献标识码：A文章编号：1001．8395(2005)02—0185—030引言原理，事实上所有的求解线性偏微分方程的方法都建立在叠加原理的基础上，然而，令人遗憾的是非近年来，人们提出和发展了许多求非线性方程线性偏微分方程不满足叠加原理，一般情况下不能精确解析解的新方法，如齐次平衡法ll，、双曲正切用叠加法求解，这就使非线性偏微分方程的求解远函数展开法[~6_、试探函数法【、非线性变换比线性偏微分方程的求解困难，

3、但我们通过深人分法【10J、Sine．Cosine法[11J、格子Bohzman法[12J、Jacobi析发现，对于某些特殊的非线性偏微分方程，如椭圆函数展开法【5J等，并用这些方法求解了许Burgers—KdV方程，也能用通常被认为只适用于线性多非线性方程，然而非线性方程(尤其是非线性偏方程的叠加法求解．微分方程)的求解非常困难，而且求解非线性方程首先分析Burgers方程、KdV方程和Burgers-没有也不可能有统一而普适的方法，以上一些方法KdV方程这3个非线性偏微分方程的特点．也只能具体应用于某个或某些非线性方程的求解，众所周知，著名的B

4、urgers方程、KdV方程和因此继续寻找一些有效可行的方法仍是一项十分Burgers-KdV方程的一般形式分别为：重要的工作．作为一种有益的探索和尝试，我们在文[16]中哿+Ⅱ一a。c—3x—2=0，(1l)基于Hopf-Cole变换法和试探函数法的基本思想简8u+g∥”洁地求得了一类非线性偏微分方程的精确解析解，瓦++ⅡⅡ+c3x33=0，(2)ax又在文[17]中利用文[16]中所引入的一个变换给8一u+Ⅱ一a+一c93UO=0出了属于这一类方程中最简单的Burgers方程的一a￡+Ⅱ一。+一x3，(3_j)种直接求解方法，由于这类方程在非线

5、性数学物理其中a叫耗散系数，叫色散系数．中的地位和作用十分重要，因此探讨对它的各种解仔细分析上述3个方程的特点，可发现：它们都法是很有必要的，这不但具有重要的理论意义。更具有相同的非线性项Ⅱ，所不同的只是线性项，具有重要的实际意义，为此，本文利用叠加法，重新且Burgers—KdV方程(3)的线性项正好等于Burgers求解属于这类方程中的一个很重要的非线性偏微分方程一Bu臀rs—KdV方程，从而获得了其精确解析方程(1)的线性项一a加上KdV方程(2)的线性解，所得结果与已有结果完全相同．项+卢．基于这一特点，可由Burgers方程的解和1求Bu

6、rgers．KdV方程解析解的叠加法KdV方程的解线性叠加来构造Burgers—KdV方程的众所周知，所有的线性偏微分方程都满足叠加解，故可设Burgers．KdV方程(3)的形式解为收稿日期：2OO4—11—05作者简介：刘辉(1970-)，男，讲师l86四川师范大学学报(自然科学版)28卷11,=口B+6K，(4)∞：±—丽，矗为任1士意思常吊数，姒．·(1l6o)J其中口，6为待定常数，B为Burgers方程(1)的解，将(16)式代人(7)式并考虑到(8)式，可求得Burgers—uK为KdV方程(2)的解，称(4)式为求Burgers—K

7、dVKdV方程(3)的精确解析解为方程解的叠加公式．=±干taIlll[±(干6~2＼1在文[18]中，已求得Burgers方程(1)和KdV方±干L±干J_程(2)的精确解析解分别为：t~,h2E±而(干6~2＼1(17)B=一ak[1+tanh1(一mt)]，(5)利用下面两个等式：K=12肚seth2(一mt)，(6)由(5)、(6)两式，并考虑到叠加公式(4)，可设Burg—tanh专=，(18)sinh~x：cosh2x一1eIs—KdV方程(3)的解为，(19)：口[1+tanhc(一mt)]+可将(17)式化为bsech2c(一mt)

8、，(7)一6az6azsinhi±蠡(干美)]+需要说明的是，因为Burgers方程和KdV方程的解中的后和∞一般不同，故