广义Hirota-Satsuma型耦合KdV方程的精确解.pdf

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1、郑硕士学位授予单位代码：研究生学号：密级：学论文1045904300806论文题目：广义Hirota．Satsuma型耦合KdV方程的作者姓名：学科门类：专业名称：研究方向：导师姓名、职称：精确解任宏峰理学基础数学孤立子与可积系统耿献国教授二零零七年五月摘要本文通过对三个位势的广义Hirota-Satsuma型耦合Korteweg-deVries方程的Lax对做规范变换，成功地构造出了上述方程的Darboux变换，从而为我们求解上述方程给了一个系统的代数算法．作为应用，本文求出上述方程的显式解．关键词，孤立子，达布变换，规范变换，Hirota-S

2、atsuma型耦合Korteweg-deVries方程，精确解AbstractByintroducinggaugetransformationoftheLaxpairofthegeneralizedHirota-SatsnmacoupledKorteweg-deVriesequationwiththreepotentials，weproposeaDarbouxtransformationofit．ThenasystematicalgebraicalgorithmwhichisusedtosolvethegeneralizedHirota-Sats

3、umacoupledKorteweg-deVriesequationisgiven．Asan印plication，explictsolitonsolutionofitisgiven．Keywords：soliton；Darbouxtransformation；gaugetransformation；generalizedHirota-SatsumacoupledKorteWe争deVriesequation；explictsolution一引言孤立子理论是非线性科学一个重要方向．自从1834年英国科学家J．Scott．Russel观察到流体上的孤

4、波，到1895年荷兰著名数学家Korteweg和他的学生deVries在对上述孤波进行分析的基础上，导出了KdV方程．至此，人们对孤子理论有了第一次亲密接触．由于对孤立子方程的研究，不仅反映一类非常稳定的自然现象，体现了一大类相互作用的若干特征，为许多应用问题(如光孤子通讯)提供启示，而且孤立子方程作为一类特殊的偏微分方程，它又为非线性偏微分方程提供了求显式解的方法．所以，从20世纪七十年代以后，一个研究非线性发展方程与孤立子的热潮在学术界蓬勃地开展起来．随着研究的深入，大批具有孤子解的非线性波动方程在物理各领域不断被揭示出来，其中包括等离子体中

5、的非线性SchrSdinger方程，振子运动Toda链与二维流体的KP方程等．研究表明，这些方程具有如都存在Lax对和无穷守恒德，都存在等谱流与非等谱流，且相关的等谱方程族构成无穷Hamilton系统等共同性质．此外，对孤子方程的求解技术也取得了长足的进展，产生诸如反散射法，Hirota双线性导数法，B茜cklund变换法，代数几何法，极点展开法，Painlev6方法，F展开法，Darboux变换法等方法[1—21】．下面简单介绍一下Darboux变换法．1882年，G．Darboux[9】研究了一个二阶线性常微分方程(现在称为一维SchrSdi

6、nger方程)的特征值问题；一九。一Ⅱ(霉)砂=A砂(1．1)其中，u(x)是给定的函数，称为势函数，A是常谱参数．Darboux发现：设u(x)和毋(z，A)是满足(1．1)式的两个函数，对任意给定的常数知，令f(x)=≯(z，知)，即，是(1．1)式当A=x0的—个解，则由旧善躲啼∽"∽z，所定义的函数露，≯(z，A)一定满足一无。一面(z)=A西．(1．3)这样，借助于特解f(x)=≯(z，Ao)，由变换(1．2)(，≠0时，它是有效的)得到(面，西)是(1．1)的新解，(1．2)式称为Darboux变换．七十年代后期，人们把它引入到孤立子

7、和可㈠vt=兰--vxzx+掣3uv：e,毗’∞4，卜--氧v—xz。+36u啦vx,)+3‰∽s，2二广义Hirota-Satsuma型耦合KdV方程的达布变换本节考虑广义Hirota-Satsuma型耦合KdV方程巨兰≯咄从文献【29】中，我们知道它可以从下面的Lax对的相容性条件得到谱问题及时间发展式为：其中：U=吒=u(8，A)垂，包=y(8，A)西y：f；札。。+。伽口兰三+A“+。A。O0lO0O01缸+A钉00伽“一A0O一％j‰一u+2A2w一％。+“钉一{“z--Wx$+UWu砧+2wv—u2一A乱+2A2仇垂=(≯1，锄，也，

8、机)f，s=(仳，口，叫)?，A是常谱参数．通过直接计算零曲率方程就可以得到方程(2．1)仉一K+慨Ⅵ=03(2．1)(2．2)(2．3