耦合的修正的变系数KdV方程的非线性波解.doc

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1、耦合的修正变系数KdV方程的非线性波解温振庶（华侨大学数学科学学院，福建泉州362021）摘要：在本文中，我们研究了一个带变系数的耦合的修正KdV方程的非线性波解，利用F-展开法获得了它的多种非线性波解，这些解包括孤立波解，扭波解（反扭波解），爆破解和周期爆破解.人们已经知道，修正KdV方程具有扭波解（反扭波解），而对于KdV方程，却未得到.事实上，我们发现，这个结果也可以拓展到带变系数的耦合的修正KdV方程和带变系数的耦合的KdV方程.关键词：耦合的修正KdV方程；变系数；F-展开法；扭波解（反扭波解）；孤立波解中图分类号：

2、O175.29文献标识码：ANonlinearWaveSolutionsforaCoupledModifiedKdVEquationwithVariableCoefficientsAbstract:Inthispaper,westudyacoupledmodifiedKdVequationwithvariablecoefficientsandobtainmultifariousexplicitnonlinearwavesolutions,whichincludesolitarywavesolutions,kink(oranti

3、kink)wavesolutions,blow-upsolutionsandperiodicblow-upsolutions,viaexploitingF-expansionmethod.OnehasknownthatmodifiedKdVequationpossesseskink(orantikink)wavesolutions,while,forKdVequation,kink(orantikink)wavesolutionshavenotbeenobtained.Infact,wefindthatthisresultca

4、nalsobeextendedtothecoupledKdVandmodifiedKdVequationwithvariablecoefficients.Keywords:CoupledmodifiedKdVequation;Variablecoefficients;F-expansionmethod;Kink(orantikink)wavesolutions;Solitarywavesolutions1.引言自从著名的KdV方程[1](1)被引入后，它及其变体得到了人们的广泛关注.KdV方程(1)首先被推广为修正KdV(mK

5、dV)方程[2,3](2)进一步为高阶KdV方程[4](3)甚至为耦合的KdV方程[5](4)最近，带变系数的非线性微分方程[6,7]引起了人们的广泛关注.例如，文献[6]研究了如下的带变系数的KdV方程(5)文献[8]进一步把方程(5)拓展成如下的带变系数的修正KdV方程(6)且文献[9]通过一些新的变换进一步研究过方程(6).此外，文献[10]引入了如下的一个带变系数的耦合的KdV方程(7)其中和满足一定的条件.从把KdV方程(1)拓展成mKdV方程(2)的角度来看，我们考虑把方程(7)拓展成如下的带变系数的耦合的修正Kd

6、V方程(8)其中和都是仅关于变量的函数，并且假定它们满足下面的条件(9)其中和都是常数.本文的目的是研究方程(8)的非线性波解.首先，我们将F-展开法应用于方程(8)，并获得了方程(8)的各种Jacobian椭圆函数形式的解.然后，通过取Jacobian椭圆函数的极限，获得了它的各种形式的非线性波解，这些解包括孤立波解，扭波解（反扭波解），爆破解和周期爆破解等等.分析发现，带变系数的耦合的修正KdV方程(8)的大部分解形式上都跟带变系数的耦合的KdV方程(7)的解类似，但是，方程(8)具有扭波解（反扭波解），而对于方程(7)，

7、却未获得，这种情形与mKdV方程和KdV方程的情形相类似.1.应用F-展开法求解方程(8)在这一节中，我们利用F-展开法的思想来获得方程(8)的非线性波解，过程如下.对方程(8)作替换，得到(10)假定和可以展开成如下的关于的有限幂级数(11)(12)其中和是待确定的常数，且满足一阶常微分方程(13)由(13)，得到(14)把(11)和(12)代入(10)中，并考虑到关系式(14)，根据与（或者与）之间的齐次平衡，得到，也就是说，(11)和(12)可以表示成(15)(16)把(15)和(16)代入(10)中，并利用关系式(13

8、)与(14)，得到(17)(18)从(15)和(16)消去，并令的系数为零，得到(19)方程组(19)在条件(9)下的解如下(20)(21)此外，有(22)其中是任意常数.把(20)和(21)代入(15)和(16)，得到方程(8)的一般形式的解(23)其中和满足.注1对于(1