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《广义对称正则长波方程的显式精确解析解》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第2卷第2期广州大学学报(自然科学版)Vol.2No122003年4月JournalofGuangzhouUniversity(NaturalScienceEdition)April2003文章编号:1671_4229(2003)02_0101_05广义对称正则长波方程的显式精确解析解尚亚东(广州大学理学院,广东广州510405)摘要:首先对具耗散项的广义对称正则长波方程ut-uxx-Cuxxt-uxxtt+f(u)xt=0,(CX0)的孤立波解建立了一个关系式.据此推知:具耗散项的广义对称正则长波方程不可能有钟状孤立波解,而只可能有扭状孤立波解或钟状扭状复合型孤立波解.广义
2、对称正则长波方程ut-uxx-uxxtt+f(u)xt=0可能既有钟状孤立波解,又有扭状孤立波解.进而求出了上述两个方程的显式精确孤立波解、奇异行波解和三角函数状周期波解.关键词:广义对称正则长波方程;精确解;孤立波解;奇异流形方法中图分类号:O175.29文献标识码:ASRLW方程(4)不是完全可积系统,并且求出了一0引言类广义SRLW方程的显式精确解.由于实际问题中,粘性阻尼是不可避免的,而且与色散一样起着对称正则长波(SRLW)方程十分重要的作用,因此,考虑如下具耗散项uxxt的ut-uxxt=Qx+uux(1)广义SRLW方程Qt+ux=0(2)utt-uxx-Cux
3、xt-uxxtt+f(u)xt=0,作为正则长波(RLW)方程的一种对称叙述,用于描CX0(5)[1]述弱非线性等离子声波和空间电荷波的传播.是很有意义的.本文首先建立广义SRLW方程(5)从上方程组中消去Q后,得到对称正则长波方程的孤立波解u(F)所满足的一个关系式,由此推知的另一种形式方程(5)不具有钟状孤立波解,而只可能有扭状孤2u立波解或钟状扭状复合形式的孤立波解.而方程ut-uxx-uxxtt+()xt=0(3)2(4)既有钟状孤立波解,又有扭状孤立波解.进一步方程(3)关于x和t的导数明显地对称.SRLW方程求出了f(s)为三阶和二阶多项式时,方程(5)的显(3)
4、可以看成著名的Boussinesq方程的变形方程.式精确扭状孤立波解、奇异行波解和三角函数状周[1]2SeylerCE求出了方程组(1)、(2)的sech孤立波期波解,方程(4)的显式精确钟状孤立波解.解、4个守恒量,并用拟谱方法得到一些数值结果.[2]BogolubskyIL数值模拟了方程(3)的孤立波的相1方程(5)的显式精确解析解互作用,显示SRLW方程(3)的孤立波相互碰撞是非弹性的,因此SRLW方程是非完全可积系统.方程(5)的行波解u(x,t)=u(F)=u(x-vt)[3,4]RosenauPJ和ClarksonPA讨论了SRLW方程满足[5]的相似约化.CHE
5、NLin研究了广义SRLW方程(v2-1)ud(F)+CvuÊ(F)-utt-uxx-uxxtt+f(u)xt=0(4)v2u(4)(F)-v(f(u(F))d=0(6)孤立波解的轨道稳定性和不稳定性.最近,作者在现求广义SRLW方程(5)满足条件
6、F
7、v+]时,文献[6]中证明了广义SRLW方程(4)不具有对偏uc(F),ud(F),uÊ(F)v0的孤立波解,对方程(6)两微分方程的Painleve性质,从另一个方面表明广义边关于F求积分两次后,知u(F)满足收稿日期:2002-10-31;修回日期:2002-11-19作者简介:尚亚东(1963-),男,副教授,博士,主要
8、从事非线性偏微分方程理论与应用研究.102广州大学学报(自然科学版)第2卷dCc11SRLW方程(4),则可能既有钟状孤立波解,又有渐u(F)-u(F)+(2-1)u(F)+f(u)=Cvvv近值满足2(F(c+-F(c-))+(f(c+)+f(c-))#(7)(c--c+)=0的扭状孤立波解(或钟扭复合状孤其中C为任意积分常数.设Flvim-]u(F)=c-,立波解).u下面,求出具耗散项的广义SRLW方程(5)在limu(F)=c+,F(u)=f(s)ds为非线性函数Fv+]Q023f(u)=a0+a1u+a2u+a3u时的显式精确孤立cf(u)的某个原函数.方程(7)两
9、端同乘以u(F),并波解.且从-]到F积分,得到首先,假设a3X0,这时设方程(5)有解形如1CF11c2c2u(x,t)=A(u(F))-(u(s))ds+(2-1)#1(lnU)x+A0(15)2vQ-]2v其中U(x,t)为满足方程组221(u(F)-c-)+(F(u(F))-F(c-))=v1Uxx+SU=0(16)2C(u(F)-c-)(8)在(8)式中让Fv+],得Ut+CUx-1CxU=0(17)2C+]11c222(u(s))ds=(2-1)(c+-c-)+的函数,而C和S为M&obiu
