用riccati方程方法解burgers方程

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1、2第0212O鼋年g93月NJournalofc"h7e~n都Hgrd／u大U—n学iv学s报～it(y一自(N然．u科l学⋯Sc版ie～n)ceEditi0n)Vo1．29NO．3Sep．2010文章编号：1004—5422(2010)03—0238—03用Rieeati方程方法解Burgers方程范梦慧，龚伦训(1．贵州民族学院物理与电子信息科学学院，贵州贵阳55(X125；2．贵州师范大学物理与电子科学学院，贵州贵阳550001)摘要：利用Rieeati方程方法求Burgers方程的精确解，得到了Burgers方程的冲击波解及相应的孤立波解，并用Mat

2、lab作图说明．关键词：Rieeati方程方法；Burgers方程；精确解中图分类号：O415文献标识码：A式中，A；为待定常数，N由，()的非线性项和最高0引言阶导数项平衡而得，并同时满足，非线性物理现象越来越受到广大学者的关注，}=r西利用光纤研究许多非线性物理现象，寻求非线性方厂=pj"+2qff(5)程的解，是一个重要的研究方向．一些新方法不断这里，“’是d／d，r、P、g是待定常数，它们的取被学者们提出来，如渐进法、格林函数法、Jacobi椭值确定函数()的具体形式．圆函数展开法、特殊函数求解法等【lI4J．(1)当P一4rq>O，且Pq≠O(或q

3、r≠0)，Burgers方程是非线性的耗散方程，其也被许多文献选为典型范例l5】，一些学者对非线性Burgers=一[p+()]，方程的精确解做了研究J．本文利用Riccati方程方=一p+c)]；法】，并用数学软件Mathematica求解Burgers方程，得到了Burgers方程的冲击波解及相应的孤立波解，(2)当P一4rq<0，且Pq≠O(或qr≠0)，并利用Matlab作图对其加以说明．1=一p+_p2tan()]，1方法简介：一p+丽c。t(；对于有两个变量和t的非线性波动方程，F(1,，，，，⋯)=0(1)当然，r、p、q还可取其他不同的值，相

4、应的当波沿正方向以速度c传播时，可做如下行波变)也有其他形式的解，具体可参阅文献[7]．换，将式(4)、(5)代人式(3)，然后合并／()的同u(x，t)=u()，=一ct(2)类项，并令系数为零，得到系数Ai的代数方程组，解式中，c是波速．这个代数方程组可确定此系数．将方程(2)代入方程(1)得到非线性常微分方2构造Burgers方程的解程，K(，du／d~，du／d，⋯)=0(3)Burgers方程是非线性的耗散方程，其一般形式设方程(3)的形式解为，为，N+一：0u(7)()=∑A／()(4)收稿日期：2010—06—25．基金项目：贵州省科学技术基金

5、(200r72o09)资助项目．作者简介：范梦慧(1977一)，女，讲师，从事非线性物理研究．第3期范梦慧，等：用Riccati方程方法解Burgers方程。239。式中，>0为耗散系数．设式(7)有如下形式的行波解，u(，t)=u()，=—ct(8)把式(8)代人式(7)得，dudu，、巧+～u(9)式(9)的非线性项为，咖蹇]=2N+l(10)最高阶导数项为，(11)图c【p+(。学=N+2根据非线性项与最高阶导数项平衡得N=1．所以式(9)的解可以表示为=A0+A。)(12)把式(12)和式(5)代人式(9)，再合并／的同类项，且令前面系数为零，得到如

6、下代数方程组，A1一crA1一prvA1=0oPAoA1一q1+一A1—2qrvAl=0pA+0Al—cqAl一3pq~a1：0qa一2vqA1=0(13)图2埘：du1利用计算软件Mathematica求出方程组(13)的：一一钿)[sedl的图像解如下，Ao=c+pz，，A1=2qv(14)3结论将式(14)代人式(12)，再选择合适的参数r、本文采用Riccati方程方法，利用数学软件求解g来确定厂()的具体形式，可得到式(9)的一些行Burgers方程，得到Burgers方程的冲击波解和相应的波精确解．其中，当P一4rq>O，且Pq≠0(或qr≠孤立

7、波解，方法简便，并绘图说明其解．此外’r、P、qO)，Ao=c+，Al=2qv，有，还可取其他不同的值，便还能得到一些精确解，这里u=c+一口[P+不一一列举．、／广tanh()]．(15)参考文献：当取r=1，P=l，g=0．2，c=2，t，=20，一30[1]叶晓林．非线性单摆的三级；斤似解[J]．大学物理，1993，12≤≤30，用数学软件Matlab对式(15)作图，结果如(1)：26—27．[2]孙春峰．非线性单摆的；数解法[J]．大学物理，图1所示．此时，图1显示式(15)是一个冲击波解．2OO4，23(1)：9—11．如将M对求导数一次，得[3

8、]余守宪．非线性振动、非线IJ土波与Jacobi椭圆