burgers方程的半离散数值方法

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1、Burgers方程的半离散数值方法作者：赵东涛李文潮陈长生张改英吴克坚徐清华【摘要】　　目的：探讨Burgers方程的半离散FourierGalerkin差分格式数值解。方法：非线性函数的有界延拓法和傅立叶变换理论。结果：建立了Burgers方程的半离散FourierGalerkin差分格式数值解，讨论了该差分格式的稳定性。结论：构造的Burgers方程的半离散FourierGalerkin差分格式数值解具有收敛性和稳定性，并给出了误差估计。【关键词】Burgers方程；谱方法　　1引言　　偏微分方程数值解的理论和实践都证明Fourier谱方法是一种非常有效的算法，

2、从理论上说，这种方法具有“无穷阶”的收敛速度。就实际计算而言，运用快速Fourier变换（F.F.T），大大降低了运算量，使得运算速度大幅提高。正是基于这一事实，Fourier谱方法及拟谱方法被广泛应用于偏微分方程数值解的计算.Burgers方程是一类重要的数学物理方程，本研究用半离散FourierGalerkin方法，解决如下的周期初值的Burgers方程的数值解问题:　　ut-vuxx+uux=0,x∈R,t∈［0,T］　　u(x,0)=u0(x),x∈R　　u(x+2π,t)=u(x,t),x∈R,t∈［0,T］（1）　　其中v,T是正常数，u0(x)是以2π为周

3、期的已知实函数，u(x,t)是未知实函数。　　关于方程组（1）整体古典解的存在唯一性，郭本喻［1］给出了充分性条件的定理。不少　　引理2设u∈S*N，对于σ≥μ≥0，存在与u,N无关的正常数C，使得‖u‖σ≤σ-μ

4、u

5、μ。　　方程(1)的半离散FourierGalerkin方法的定义是：寻找一个un：J→S*N，使之满足：对于φ∈S*N，都有下面方程组成立：　　(uNt,φ)+v(uNx,φx)+(uNuNx,φ)=0　　uN(x,0)=PNu0(x)（2）　　式中uN(x,t)=N2k=-N2Nk(t)φk(x)，其中Nj=N-j,j=-N2,…，N2。在上式中

6、,令φ=φk(x),k=-N2,…，N2,则得到一个含有N+1个未知变量的一阶常微分方程组。　　引理3如果半离散格式存在解uN，它必满足不等式：　　‖uN(t)‖L2≤‖uN(0)‖L2。　　证明：在（2）式中，令φ=uN，则有　　(uNt,uN)+v(uN,uN)+(uNuN,uN)=0　　因为实函数uN具有周期性，所以(uNuN,uN)=0,　　而(uNt,uN)=12ddt(‖uN‖2)，　　故12ddt(‖uN‖2)+v‖uN‖2=0,由v>0，　　推出12ddt(‖uN‖2)≤0,故‖uN（t)‖2L2≤‖uN(0)‖2L2。　　定理若u0(x)

7、∈Hsp(Ω),s>12，并设（1）的解u∈L∞(J,Hsp(Ω))则方程（2）存在唯一解，且存在与N无关的正常数C及正整数N0，使得当N≥N0时，方程（2）的解uN满足‖u-uN‖L∞(J,L2p(Ω))≤-s。　　3数值结果　　ut-vuxx+uux=-12sin2x·e-2vt(3)　　u(x,0)=cosx　　u(x+2π,t)=u(x,t)　　我们可以验证u(x,t)=cosx·e-vt是以上方程(3)的精确解，把在计算机上得到的结果与精确解进行比较。对于第n层，tn=nΔt，该层上网格点(xj,tn)处数值解与精确解的误差为ej=u(xj,tn)-unN

8、(xj)。第n层数值解与精确解的逼近程度可用范数‖e‖∞和‖e‖2来度量，其中　　‖e‖∞=max0≤j≤N-1{

9、ej

10、}，‖e‖2=(hN-1j=0

11、ej

12、2)1/2　　在这个例子中，v=0.003,T=1.25,我们将区间J=［0,T］M等份，步长Δt=T/M。取M=100，每隔10层进行一次误差分析，在t=1.25，N=16时，Δt=1.25×10-3,容易看出，数值解精度高是拟谱算法的一个明显优点。从理论上分析，如果方程（1）的解充分光滑，即s充分大，算法的误差主要取决于时间步长Δt，而不是N。【参考