LBM求解Burgers方程

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1、LBM求解一维Burgers方程1.概述格子Boltzman方法有两个理论源头，分别是气体动力学Boltzman方程以及系统科学中的元胞自动机，从Boltzman方程出发，我们可以把格子Boltzman方法建立在物理定律的基础之上，从而可以用格子Boltzman方法来求解各种物理问题，包括流体N-S方程，其他种类的对流扩散方程，在这种理论框架内格子Boltzman方法的变量均赋予的物理意义。从另一个角度出发，我们也可以把格子Boltzman方法当做一种模拟一类微分方程的数学手段，而不必对其中的变量赋予物理意义。所以我们对标准LBM的某些部分可以做一些改变，比如平衡态分布函数，以及

2、源项的处理，从而达到求解其他类型的对流扩散方程的目的。2.关于恢复宏观的方程的特点考虑基本的格子Boltzman方程…………（1）应用champan-Enskog展开，在时间方向上我们取三种形式时间尺度…………（2）…………（3）空间上我们取两种形式的宏观尺度…………（4）关于时间空间的微分算子有下列关系式…………（5）…………（6）同时把分布函数展成…………（7）把（1）式作taylor展开，有…………（8）把（5）（6）（7）代入（8）式，比较各阶系数…………（9）…………（10）同时有…………（11）考虑（9）（10）式的一阶矩，，可得到这些项…………（12）…………（13

3、）而（9）（10）的二阶矩可以得到下面的项…………（14）…………（15）由此可分析格子Boltzmann方法恢复宏观方程的结构，可以包含非稳态项（12）（14）对流项（13）（15）扩散项（15）3.一维Burgers方程的LBM解法一维定解Burgers方程为…………（16）由以上的简单分析，LBM可以求解上述方程，一般解上述方程可用时间相关法，即增加非稳态项，即上述问题的皆可化为下列非稳态方程的稳态解…………（17）下面我们采用LBM即模拟方程（17）对于一维问题我们采用3速度模型，即离散速度集合为…………（18）宏观量为…………（19）至于平衡态分布函数和无量纲松弛参数，

4、必须通过多尺度分析才能得出。仿照前述的Champan-Enskog展开分析设置3个时间尺度，…………（20）同时分布函数展开到3阶…………（21）演化方程也展开到3阶…………（22）把（20）（21）等式代入（22），比较各阶系数可得宏观方程为上述方程实质上是二阶精度的Burgers方程，并且雷诺数与松弛参数的关系为平衡态分布函数数值实验取Re=1000进行实验杨满叶（quick的摄动格式）模拟4个粒子在均匀流场中的运动Step=0Step=500Step=1000Step=2000Step=3000Step=3500