求解Burgers方程的特征中心型有限体积法

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1、第40卷第3期2010年5月航空计算技术AeronauticalComputingTechniqueV01．40No．3Mav．2010求解Burgers方程的特征中心型有限体积法罗力，封建湖(长安大学理学院，陕西西安710064)摘要：以Burgers方程为试验模型，提出一种新的有限体积法，空间上的离散采用中心型加权基本无振荡重构，时间上的离散采用数值积分。其中积分节点上的数值通量由特征理论回溯求解，保持了物理量沿特征方向传输的特性，计算量相对Runge．Kutta法明显减少。数值结果表明了方法的有效性和稳定性。关键词：Burgers方程；有限体积法；特征理论

2、；高分辨率中图分类号：0241．82文献标识码：A文章编号：1671．654X(2010)03．0013．05引言Burgers方程通常被称为非线性输运一扩散模型方程，是流体动力学和交通流动力学的简单模型方程。许多数值方法的设计和分析往往首先建立在求解Bur-gers方程上，用以估计方法的精度及稳定性表现。方程的具体形式为H，+a(“2)，+d(M2)，=占(F(u)u，)。+占(秽(配)配，)，(1)其中a为对流系数，秽(U)为粘性系数。对于无粘情形或对流占优情形，方程的解可能出现间断，传统的基于对流一扩散方程的数值方法并不适用。近年来，中心型有限体积法¨。]

3、在计算流体力学中得到广泛应用，该方法无需进行单元界面处的插值重构，较迎风方法更为稳定。在捕捉间断方面，近年发展起来的加权基本无振荡方法(WENO：WeightedEssentiallyNon．Oscil—latory)[4-7]起到非常良好的效果，该方法通过构造基于不同模板的插值多项式的凸组合，在光滑区域达到了尽可能高的精度，并在间断区域避免了伪振荡的产生。在时间推进上，基于特征理论的回溯法[8一叩可保证物理量的传输特性，精度较高且方法简单，避免了如Runge—Kutta法在每时间层上作数次WENO重构的复杂计算。本文在中心型有限体积法基础上，结合以上时空两种处

4、理方法，得到一种新的特征中心型有限体积法，保持了上述特点。数值结果表明，方法可有效求解Burgers方程的对流占优问题。收稿日期：2009．12．03修订日期：2010·03·19基金项目：陕西省自然科学基金资助(2007F36)1中心型有限体积法首先讨论无粘情形。采用均匀网格，用瓦等表示单元，iJ=[zi一号，戈；+÷]“乃一号，乃+÷]上t“时刻的单元均甑乙=志聪脏出m门岫。首先构造插值多项式P。(茗，Y，t“)=∑Rid(戈，y)x；J(2)其中彪』是区间lij上的特征函数，RiJx，，，)是区间liJ上的插值多项式。对(1)式两端同时在区间[t“，t”1

5、]“名i，气+。]×[乃，乃+-]上求积分平均，有1瓦1,．丁1J+÷=U1i+T1J+}+[盘fY，i，*1[配2(xi,y,r)。(‰)，，r)Md丁+瓦爵J，。n“了i1敞茗，川一“2(戈，枷f)]出州垒，+日(3)上式右端第一项，是交错网格上的积分平均，可显式计算记号√砖2上AxAyJ,,JjiPu(戈，)，，广)dydxl1rYi+1得到。产i+后一项日是通量关于时间和一维空间的积分，采用如下数值积分来计算日=1A函totXN,XMJ(P。(xi，，，i+巩△，，，矿+fltAt))2一(尸。(甄+1，乃+巩△)，，t4+pfAt))2]+等∑川∑M。

6、[(P。(石。+仇△菇，乃∥+岛At))2一u，f=1k：1作者简介：罗力(1984一)，男，广东四会人，硕士研究生，研究方向为计算流体力学。·14·航空计算技术第40卷第3期(P。(戈f+巩Ax，乃+。，t“+屈zxt))2](4)其中N=(1／6，4／6，1／6)，M=(一1／24，13／24，13／24，一1／24)是积分权重，卢=(0，1／2，1)，0=(2，l，0，一1)是积分节点位置。2加权基本无振荡重构(WENO)为得到高阶无振荡格式，本文采用三至五阶的WE．NO方法‘4。7]。WENO方法的重构是基于不同模板尺度插值式的凸组合基础上进行的，在光滑

7、区域上达到尽可能高的精度，同时在激波附近可避免伪振荡的产生。为节省篇幅，以二维的三阶方法为例，我们介绍如下：首先构造一个单元均值意义下的二次最优多项式Popr=M0+(“iJ)，(髫一髫i)+(MiJ)y()，一yj．)+(MlJ)掣(戈一戈i)(Y一乃)+弓一(ufJ)。(戈一zi)2+1寺(uiJ)∥()，一乃)2(5)其中系数为u≈=瓦一去((ZXx)2(uij)。+(△y)2(MtJ)")(u一，=警如一，=蛩“山=弛笋(6)㈠止=纽笋(u一夥=虬芷塑总詈出构造基于不同模板上的插值多项式的凸组合：Rij(Ⅵ)。；埘∥础(Ⅵ)，；加∥=l，埘^i。≥o，

8、

9、j}E{ⅣE，Ⅳ形，sE