用有限体积方法求解欧拉方程

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1、有限体积法求解二维可压缩Euler方程——计算流体力学课程大作业老师：夏健、刘学强学生：徐锡虎学号：SQ09018013018日期：2010年2月5日-11-目录一、内容摘要……………………………………………………（2）二、流动控制方程………………………………………………（2）三、有限体积法的空间离散……………………………………（2）四、人工耗散……………………………………………………（3）五、时间离散……………………………………………………（4）六、边界条件……………………………………………………（5）七、计算结果……………………………………

2、………………（8）八、结论与展望…………………………………………………（11）参考文献…………………………………………………………（11）-11-一、内容摘要本文通过运用JAMESON有限体积法求解了二维定常和非定常可压缩Euler方程。程序实现语言为C++。其中，使用的网格是三角形非结构网格。在时间推进上使用的是四步龙—库塔推进格式。推进的时间步长取的是当地的时间步长。为了消除迭代误差、round-off等误差，本文采用了添加人工耗散项的办法。另外，本文计算了NACA0012翼型在跨音速下不同迎角的情况，并与fluent软件的计算结果进行了比

3、较，来验证程序的准确性。二、流动控制方程守恒形式的Euler方程：（1）其中x和y代表笛卡儿坐标系。W是守恒变量。(2)F,G表示通量,(3),P,H和E表示密度，压强，单元总焓和单元总能量。U,V表示笛卡儿坐标系下的速度矢量。这些量由理想气体的单位体积的总能量和总焓相互联系。(4)(5)三、有限体积法的空间离散计算域被划分为互不重叠的单元。在每个单元运用守恒形式的Euler方程。由于每个单元相对于时间都是不变的，所以等式（1）可以写成：（8）其中和S是单元的体积和边界。W是单元的平均值。在对上述方程进行时间离散前，先对空间进行离散，则方程（6

4、）可以写为：（9）-11-其中表示第k个单元的体积，是第k个单元的守恒变量。表示第k个单元的通量。方程（7）的右边项可以写成：（10）其中（11）（8）式中的求和是对第k个单元的所有边进行的。守恒参数的量是单元中心值，在求通量时，第I条边的守恒参数值是用左右单元的平均来表示的：（12）引入变量：（13）则第k单元的Euler方程可以写为：（14）在本文中，采用的是JAMENSON有限体积法，为了减少存储的相关信息的量，其存储的方式选择的是按边存储的方法。在存储的每条边的信息中，包含了这条边的边号，左右单元号和边的端点。在计算通量时采用按边循环的

5、方式：doI=1,nedgek=connmatrix(I,1)a=connmatrix(I,2)b=connmatrix(I,3)p=connmatrix(I,4)flux=function(k,a,b,p)sum(k)=sum(k)+fluxsum(p)=sum(p)-fluxenddo这里给出的是FOTRAN语言的形式，我编写采用的是C，具体表现在上交的程序中。在计算时间步长、人工耗散项等也可用象这样按边循环，从此处我们可以看出求解时与单元的形状无关。四、人工耗散人工粘性模型对方法的成功应用起着关键作用，人工粘性抑制解在激波附近的振荡，又阻

6、尼解在光滑区域内的高阶误差，对解的线性稳定和收敛于定态是很重要的。本文在方程（14）的右端加入了人工耗散项，如对于单元k，其表达式可以表示为：（15）-11-在有限体积法中，耗散项的公式可以表示为：（16）其中：（17）其中的I表示单元k和p的公共边，定义为：（18）上面的j表示与k相邻的单元。（19）（20）其中的量的范围是：。在计算时发现上面方法得到的人工耗散项并不太适合。其在光滑区域耗散项太大，而在大剃度区域又显得太小，为了弥补上面的不足，作下面的修改：（21）自适应系数为：（22）尺度系数为：（23）其中的U,V表示边上的值，C表示当地

7、声速。五、时间离散方程最后的稳定解是通过时间上的迭代得到的，可以写为：（24）右边项的表达式为：-11-（25）为了加速收敛，时间迭代使用的是4步龙—库塔推进格式。格式如下：（26）其中的n表示的是当前的时间步，n+1表示的是新的时间步：（27）（28）为了减小计算时间，人工耗散项的计算只在第一步进行，在下面几步的迭代中保持不变。运用上面的方法计算，可以发现CFL数可以取到，本文中使用的是2.0。使用显示格式迭代的主要缺点是由于稳定区域的限制，所以不能使用过大的时间步长。可以用近似的方法估算时间步长，对于任意形状的网格，可以使用下面的方法：（2

8、9）六、边界条件1固面边界条件对与无粘流动，固面边界条件无穿透条件，设其法向的速度通量为零，即。由于压强项的影响，x－向和y－向的动量通量并不为零。固