欧拉方程及其求解

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1、欧拉方程欧拉方程n(n)n1(n1)xyp1xypn1xypnyf(x)(p为常数)kt令xe,即tlnx常系数线性微分方程欧拉方程的算子解法:n(n)n1(n1)xyp1xypn1xypnyf(x)t令xe,则dydydt1dydyxydxdtdxxdtdt22dyd1dydt1dydy()dx2dtxdtdxx2dt2dt22dydyxy2dtdt计算繁!dkkd记D,D(k2,3,),则由上述计算可知:dtdtkxyD

2、y22xyDyDyD(D1)yk(k)用归纳法可证xyD(D1)(Dk1)y于是欧拉方程n(n)n1(n1)xyp1xypn1xypnyf(x)转化为常系数线性方程:nn1tDyb1Dybnyf(e)nn1dydyt即nb1n1bnyf(e)dtdt例1.解:则原方程化为亦即①特征方程其根则①对应的齐次方程的通解为2设特解:yAtBtC代入①确定系数,得①的通解为换回原变量,得原方程通解为例2.解:将方程化为(欧拉方程)则方程化为即②特

3、征根:2t设特解:yAte,代入②解得A=1,所求通解为例3.解:由题设得定解问题③④td令xe,记D,则③化为dtt[D(D1)D4]y5e2t(D4)y5e⑤t代入⑤得A＝1特征根:r2i,设特解:yAe,得通解为tyC1cos2tC2sin2te1C1cos(2lnx)C2sin(2lnx)x利用初始条件④得1C11,C22故所求特解为11ycos(2lnx)sin(2lnx)2x思考:如何解下述微分方程提示:原方程直接令d记Ddtd记Dd

4、tt[D(D1)pDp]yf(ea)12