欧拉方程的求解.

欧拉方程的求解.

ID:39205174

大小:776.02 KB

页数:18页

时间:2019-06-27

欧拉方程的求解._第1页
欧拉方程的求解._第2页
欧拉方程的求解._第3页
欧拉方程的求解._第4页
欧拉方程的求解._第5页
资源描述:

《欧拉方程的求解.》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在行业资料-天天文库

1、欧拉方程的求解1.引言在数学研究领域,我们经常会看到以数学家名字命名的概念、公式、定理等等,让人敬佩跟羡慕.但是,迄今为止,哪位数学家的名字出现得最多呢?他就是数学史上与阿基米德、牛顿、高斯齐名的“四杰”之一,人称“分析学的化身”的盲人数学家欧拉(LeonhardEuler,1707--1783).几乎在每一个数学领域都可以看到他的名字,譬如我们熟悉的“欧拉线”、“欧拉圆”、“欧拉公式”、“欧拉定理”、“欧拉函数”、“欧拉积分”、“欧拉变换”、“欧拉常数”欧拉还是许多数学符号的发明者,例如用表示圆周率、表示自然对数的底、表示函数、表示求和、表示虚数单位以欧拉命名的数学名词有很多,本文主要

2、讲解以欧拉命名的方程即“欧拉方程”.在文献[1]中,关于欧拉方程的求解通常采用的是变量变换的方法.变量变换法就是将所求的欧拉方程化为常系数齐次线性微分方程,然后再来求解这个常系数齐次线性微分方程的解,亦即求其形如的解,进而求得欧拉方程的解.但有些欧拉方程在用变量变换法求解时比较困难.本文在所学的欧拉方程的求解的基础上,对欧拉方程进行了简单的分类,并针对不同阶的欧拉方程的求解给出了不同的定理.最后在每类欧拉方程后面给出了典型的例题加以说明.2.几类欧拉方程的求解定义1形状为(1)的方程称为欧拉方程.(其中,,,,为常数)182.1二阶齐次欧拉方程的求解(求形如的解)二阶齐次欧拉方程:.(2

3、)(其中,为已知常数)我们注意到,方程(2)的左边、和的系数都是幂函数(分别是、和),且其次依次降低一次.所以根据幂函数求导的性质,我们用幂函数来尝试,看能否选取适当的常数,使得满足方程(2).对求一、二阶导数,并带入方程(2),得或,消去,有.(3)定义2以为未知数的一元二次方程(3)称为二阶齐次欧拉方程(2)的特征方程.由此可见,只要常数满足特征方程(3),则幂函数就是方程(2)的解.于是,对于方程(2)的通解,我们有如下结论:定理1方程(2)的通解为(i),(是方程(3)的相等的实根)(ii),(是方程(318)的不等的实根)(iii).(是方程(3)的一对共轭复根)(其中、为任意

4、常数)证明(i)若特征方程(3)有两个相等的实根:,则是方程(2)的解,且设,(为待定函数)也是方程(2)的解(由于,即,线性无关),将其带入方程(2),得,约去,并以、、为准合并同类项,得.由于是特征方程(3)的二重根,因此或,于是,得或,即,18故.不妨取,可得方程(2)的另一个特解,所以,方程(2)的通解为.(其中,为任意常数)(ii)若特征方程(3)有两个不等的实根:,则,是方程(2)的解.又不是常数,即,是线性无关的.所以,方程(2)的通解为.(其中,为任意常数)(iii)若特征方程(3)有一对共轭复根:(),则,是方程(2)的两个解,利用欧拉公式,有,,显然,和18是方程(2

5、)的两个线性无关的实函数解.所以,方程(2)的通解为.(其中,为任意常数)例1求方程的通解.解该欧拉方程的特征方程为,即,其根为:,所以原方程的通解为.(其中,为任意常数)例2求方程的通解.解该欧拉方程的特征方程为,即,其根为:,,所以原方程的通解为.(其中,为任意常数)18例3求方程的通解.解该欧拉方程的特征方程为,即,其根为:,所以原方程的通解为.(其中,为任意常数)2.2二阶非齐次欧拉方程的求解(初等积分法)二阶非齐次欧拉方程:.(4)(其中,为已知实常数,为已知实函数)为了使方程(4)降阶为一阶线性微分方程,不妨设,,(5)则方程(4)变为,即,(6)根据韦达定理,由(5)式可知

6、,,是一元二次代数方程18(3)的两个根.具体求解方法:定理2若,为方程(2)的两个特征根,则方程(4)的通解为.(7)证明因为,为方程(2)的两个特征根,于是方程(4)等价于方程(6),令,代入方程(6)并整理,得和,解之,得方程(4)的通解为.由定理2知,只需要通过两个不定积分(当(7)式中的积分可积时)即可求得方程(4)的通解.为了方便计算,给出如下更直接的结论.定理3若,为方程(2)的两个特征根,则(i)当是方程(2)的相等的实特征根时,方程(4)的通解为,(ii)当18是方程(2)的互不相等的实特征根时,方程(4)的通解为,(iii)当是方程(2)的共轭复特征根时,方程(4)的

7、通解为证明(ii)当是方程(2)的互不相等的的实特征根时,将方程(1)的通解(7)进行分部积分,得(8)(iii)当是方程(2)的共轭复特征根时,,再由欧拉公式有,,将其代入(8)式,整理可得方程(4)的通解为(i)的证明和(ii)类似.例1求方程的通解.18解该欧拉方程所对应的齐次方程的特征方程为,特征根为,所以由定理3,原方程的通解为(其中,为任意常数)例2求方程的通解.解该欧拉方程所对应的齐次方程的特征方程为,特征根为,,所以

当前文档最多预览五页,下载文档查看全文

此文档下载收益归作者所有

当前文档最多预览五页,下载文档查看全文
温馨提示:
1. 部分包含数学公式或PPT动画的文件,查看预览时可能会显示错乱或异常,文件下载后无此问题,请放心下载。
2. 本文档由用户上传,版权归属用户,天天文库负责整理代发布。如果您对本文档版权有争议请及时联系客服。
3. 下载前请仔细阅读文档内容,确认文档内容符合您的需求后进行下载,若出现内容与标题不符可向本站投诉处理。
4. 下载文档时可能由于网络波动等原因无法下载或下载错误,付费完成后未能成功下载的用户请联系客服处理。