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1、求解对流扩散方程用的几种欧拉一拉格朗日模型之比较〔葡萄牙〕A.M.巴普蒂斯泰〔美国〕E.E.阿达姆斯等摘要本文就对流扩散方程的各种欧拉一拉格朗日解法所使用的插值格式的精确度和稳定性从理论分析和数值试验上进行了比较。己l甘I言欧拉一拉格朗日方法(简作EL人D为传输方程(对流扩散方程)提供了经济而准确的解法〔’一’‘〕。其中有些方法(ELM/C)直接把浓度处理成主要因变量〔‘一“”“),而另外一些则追综质点,进而和浓度相联系。在各种ELM/C方法中,多数把方程分裂成对流方程和扩散方程,并采用各自合适的技术求解。但事实
2、上整个传输方程是可以同时求解的〔3〕。当按照分裂法处理时,大多数情况是将传输方程从时间域进行离散,其实也可以直接将微分方程分裂(’‘〕。典型的ELM/C方法用向后特征方法解对流方程(或在可能的情况下解整个输运方程),其中包括一个追综步和一个求特征线根部浓度的插值步。已经提出了许多种插值格式〔“’7’8’‘。)及木文,各具有不同的稳定比、阻尼和耗散特性。最终,所有的ELM方法都与某种给定的离散单元技术联系起来,这些技术,或者贯穿于求扩散方程的数值解过程中,或者仅仅通过对流场的定义,大多属于有限差分法〔“一”’‘。〕或
3、有限元法〔”“”‘)。由于每种离散技术均有各自的优点,就希望对ELM有一个系统的比较。本文即致力于这样的比较工作,侧重于ELM/C方法解纯对流方程时可以使用的关于浓度的各种插值格式。二、问题的定义和对插值格式简要评述考察下面形式的对流方程黔〔二器+歹‘卫口C~任-、=O(i=1,2,3)(1)口X诬J上式意味着C梦丰卫=C梦,P是由下式定义的特征线的根部:dX;(2)以t=一4少谊其起点为位于时刻—的节点夕(见图1)假定时刻。的所有各节点的浓度都已知,十1。,则梦可以通过点附近适当的节点(独立于位置声的插值求的CP
4、)。(a),一维(b)二维图1衬流方程解格式杀意图最简单的插值格式是线性格式,采用(在一维情况下)两个最靠近P的节点。然而,这种格式会引起过大的数值阻尼,就象在常规逆风格式里出现的一样。因此,早期的ELM‘’”)采用了P点周围的三节点(一维问题)二次拉格朗日多项式。相同的格式,即三节点拉格朗日插值(简作3P一Ll)曾被本魁等〔“)和巴普蒂斯泰等〔‘〕用于有限元(以及文献〔1。〕提出的不受柯朗稳定性约束限制的格式)。3P一Ll格式比传统的欧拉方法精确,但仍然会出现某些数值阻尼和分散。增高拉格朗日插值多项式的阶次似乎可
5、能改善精度,可是应用四节点格式(4P一LD的结果导致显著的数值分散和不稳定状态。关于这一点,下文还要论述。霍雷和普列士曼〔7〕使用了另一种基于埃尔米特多项式的精确四阶格式。使用两点埃尔米特插值的ZP一Hl包含最少的插值点数(一维问题是2点),但要所需变量除浓度本身外,还需要浓度由于对流和扩散而引起的空间导数。在一维问题里,做到这点并不难,但对二维以上的间题则较为复杂。霍雷和小松〔,〕及小松等〔“〕试图在保持ZP一Hl精度的俞提下不把浓度导数作为独立变量,他们提出了八节点和六节点的准埃尔米特插值格式(分别以SP一QH
6、,6P一QH表示)。在这些格式中,通过由在K,K一/12和K一1三点的浓度及其导数定义的(一维问题,见图la)两个三次多项式的平均得到C梦十’=C彗。至于导数值则通过顺序四个节点上的五个(对SP一QH)或三个(对6P一QH)三次拉格朗日多项式所得值并加权平均定出。“最佳”权重由数值试验和使数学公式中由于泰勒级数展开引起的人工扩散项变得最小而得到的。按上述简单方法用三阶或二阶拉格朗日多项式估算K和K一1点处的浓度导数,并直接代入到ZP一Hl算式中去后,我们增补了一些另外的格式4P一Hl、SP一Hl和7P一Hl,由于这
7、些格式尚未发表,我们在表1中说明了其形成原理。前面我们把重点放在一维问题上,因为对正交网格来说,扩展到二维或三维问题从概念上说是容易的,只要求把一维插值公式适当地相乘〔5’8〕,不幸的是对非正交网格(例如大多数有限元网格)就不具这样的优点,事实上包括包含P的单元以外的节点这样一类格式变得复杂而且不准确。基于上述原因,上面的方法直接推广到非正交网格的情况只对3P一Ll(“’‘〕,4P一Ll(此格式即使对一维问题也无可取之处)和ZP一Hl几种;7P一Hl也可能成为可取的格式(正在研究中)。三、精度的理论分析利用诺依曼的
8、分析方法〔‘2〕,考察一维无限区域里单位振幅的复谐波的传播,设浓度梦{i夕}C=exPf久(一,)(3)式中,,表示时步,i表示节点,久=2万乙X/L,吞=U乙t/乙X,L=波长,U=(eonst)传播速度,乙x=(sn)t节点间距,击=时间步长,对任何插值格式,方程(1)具有下面形oc式的解.C+卫二(兰C居4梦()式中,~”代表数值近似值,bK为插值系数
