改进欧拉格式求解随机微分方程的收敛性

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1、第30卷第1期大学数学V01．3O，№．12014年2月COLLEGEMATHEMATICSFeb．2014改进欧拉格式求解随机微分方程的收敛性贾俊梅(内蒙古工业大学理学院工科数学部，呼和浩特010051)[摘要]采用改进的欧拉格式求解随机微分方程，当方程的偏移系数和扩散系数均满足全局Lipschitz条件和线性增长条件时，证明改进格式的强收敛的阶是1．[关键词]随机微分方程；改进欧拉法；收敛性[中图分类号]0241．8[文献标识码]A[文章编号]1672—1454(2014)01—0007—05l引言

2、随着随机微分方程越来越广泛地应用于物理、金融、生物和经济等各个领域中，对随机微分方程解的本身及其解形态的研究就显得十分重要．但是大多数情况下，与常微分方程情形类似，其解析解不易求出．当无法给出方程解的解析表达式时，也可通过考察解过程的各阶矩的性质从而把握解的形态．例如，DingXiao—hua等研究了不同数值方法求解随机微分方程的均方收敛性，本文建立了改进的欧拉格式求解随机微分方程的强收敛性定理．2改进欧拉格式考虑Ito型随机微分方程(SDE)dx(t)=(z(￡)，￡)dt+g(z(￡)，t)dw(t

3、)，z(O)一z0，t∈[0，T]，(1)其中厂(z(￡)，)，g(()，￡)分别称为偏移系数和扩散系数，且满足Lipschitz条件和线性增长条件．即对于任意的z，Y∈，t∈[O，T]，存在常数K>0，K>0使得If(x，￡)一f(Y，)l。v『g(x，)一g(Y，￡)l≤K1Iz—YI。，(2)If(x，)lvIg(x，￡)I≤K。(1+ll)．(3)给定的步长h>0，用改进的欧拉格式计算方程(1)，近似解Y≈x(t)，￡一kh，Y。一lz。．具体的差分格式如下：预估格式：—Y+f(Yk，tk)+g

4、(y，)，(4)改进格式；抖1=Y+[厂(，t)+厂(，t)]+g(Y^，t女)aw^，(5)厶其中h===1为固定步长．令劬=一叫，△即～N(O，)．对于￡∈[，]，定义(￡)=yk+寺[厂(弘，tk)+，(，tk)](￡一tk)+g(Y，tk)(一∞)，(6)[收稿日期]2013—01—23[基金项目]内蒙古工业大学校基金(X201324)8大学数学第3O卷21(￡)一∑litk,tk+1)Y(￡)+N(￡)，(7)：0N一1z2(￡)=∑IEtk,tk+1)Yk(￡)+青_T)()，(8)这里()

5、为示性函数tE()=：。+—一j．：-7(z(s)，s)ds—}_—一If：((s)，s)ds+J’g(z(s)，s)dw(s)(9)(===；一[)．3改进欧拉格式的均方收敛性引理3．1如果h<1并且满足方程(3)，那么存在两个正常数A，B使得Ell。≤AElYl+B，(10)其中．yf和Y^(k一0，1，⋯，N)是由方程(4)和(5)得到．证方程(4)两边平方，得1l一IYl+lf(Y，t)I+lg(Y，t)AwI。+2hyf(y，t女)+2ykg(Yk，t)Aw+2f(y，t^)g(，t)hAw．

6、由基本不等式2ab≤Ct+b。和方程(3)，fJ≤JY￡I。+If(Y，t)I+fg(Y，tk)AwJ+(IYf+Jf(Y，t)J。)+2ykg(Yk，tk)+2f(y^，t)g(，t)hAw^≤(1+^+K2^+K2I△I+K2h。)lYI。+(K2^+K2+K2lAwl)+2ykg(Yk，tk)Aw+2f(y，t)g(．y，t)hAw，EIl。≤(1+h+2K2h+Kh)E1YI+(2K2h+Kh)．即EJfl≤AElYl+B(A一3(1+K2)，B=3K2)．引理3．2当h<1并且满足方程(3)，

7、那么存在两个正常数G，F，使得ElYl≤G，EIl。≤F．(11)证由方程(5)两边平方，f弘+I。一If。+等i厂(，)f。+等f厂(Y，)fz+fg(，)△叫f+hykf(yk，tk)+by，(，)+2y女g(，t^)Aw+n，(，)，(f，)+hf(yk，t女)g(Y^，t)Aw^+hf(y；，t^)g(Y，t)Aw，l3，+Iz≤13llz+l厂(，￡)Iz+l，(Y，￡)Iz+Ig(，￡)△lz+2ykg(，tk)Aw+hf(y，t)g(，t)△硼^+hf(y；，t)g(Y，t^)Aw^，[1

8、Ykl+I厂(，￡)I]+h[IYkI+I(．y，)I]+h2[1厂(，)I+1-厂(，￡)Iz]一IYI。+^lYl+I(+。)lf(y，)I+告(+)I厂(，)l+lg(Y，)AwI。+2ykg(，tk)Aw+hg(y，t)△+hf(y；，t)g(Y，t女)Aw．I+Iz≤l挑lz+llz+丢(+z)K(1+lIz)+譬(^+^z)(1+IIz)+K2(1+IYl)lAw^I+2yg(挑，t^)Aw女+hg(y，t^)Aw+厂(f，t^