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1、第22卷第3期大学数学Vol.22,l.32006年6月COLLEGEMATHEMATICSJun.2006随机微分方程欧拉格式算法分析郭小林(安徽财经大学计算机系,蚌埠233041)[摘要]首先给出了线性随机微分方程的欧拉格式算法,然后给出了非线性随机微分方程变步长的欧拉格式算法,接着讨论了其对初值的连续依赖性和收敛性.[关键词]随机微分方程;欧拉格式;对初值的连续依赖性;收敛性[中图分类号]O211163[文献标识码]A[文章编号]1672-1454(2006)03-0094-061引言随机微分方程在描述
2、现象中起着重要的作用.当使用随机微分方程解决问题时,我们常常是先把随机微分方程离散化为随机差分方程,然后利用随机差分方程进行计算或模拟.在所有离散化的方法中,[1-7]欧拉格式是最基本且最重要的一种.在文[3]中,VladBally和DenisTalay研究了关于随机微分方程dxt=b(xt)dt+R(xt)dwt的欧拉格式,其算法格式为nnnnx(p+1)h=xph+b(xph)h+R(xph)(w(p+1)h-wph),n其中h为固定步长,p=0,1,2,,.当ph[t[(p+1)h时,xt被定义为nnn
3、nxt=xph+b(xph)(t-ph)+R(xph)(wt-wph),其中wt是布朗运动.在文[7]中,NorbertHofmann给出了随机微分方程(1)的欧拉格式yn+1=yn+a(tn,yn)h+b(tn,yn)hNn,1其中h是固定步长,Nn满足P(Nn=?1)=,且当iXj时,Ni与Nj相互独立,i,j=1,2,,,n.然而,维纳2过程不能用一个两点分布很好地近似,因此,在本文中,我们将给出变步长的欧拉格式.下文结构如下:在第二节中给出线性随机微分方程的欧拉格式;第三节中给出非线性随机微分方程的变
4、步长欧拉格式.2线性随机微分方程的欧拉格式考虑线性随机微分方程dxt=[a(t)xt+f(t)]dt+[b(t)xt+g(t)]dBt,(1)其中a(t),b(t),f(t)和g(t)均可积,Bt为一维布朗运动,则其欧拉格式为yt=yt+[a(tn)yt+f(tn)]h+[b(tn)yt+g(tn)]hNn,(2)n+1nnn其中Nn~N(0,1)满足:当iXj时,Ni与Nj相互独立,对任意nIN,hS$tn=tn+1-tn.[收稿日期]2005-02-28[基金项目]安徽省高等学校自然科学研究项目(2005
5、KJ051)第3期郭小林:随机微分方程欧拉格式算法分析95定理1对于线性随机微分方程(1)和其欧拉格式(2),我们有:当hy0时,E(ytn)yE(xtn)且22E(yt)yE(xt).nn证由-Qa(t)dt-Qa(t)dt-Qa(t)dtd(ext)=e(dxt-a(t)xtdt)=e[f(t)dt+(b(t)xt+g(t))dBt],得ttsts-Qta(s)ds-Qta(z)dz-Qta(z)dze0x00t=x0+ef(s)ds+e[b(s)xs+g(s)]dBs,QtQt00其中x0=xt0.因此
6、,ta(s)dst-sa(z)dzt-sa(z)dzxQt0Qt0Qt0t=ex0+ef(s)ds+e[b(s)xs+g(s)]dBs.(3)QtQt00由(3)得ta(s)dstta(z)dzQtQsE(x0t)=eE(x0)+ef(s)dsQt0和tts2ts22Qt0a(s)ds2-Qt0a(z)dz-2Qt0a(z)dz222E(xt)=eE(x0)+ef(s)ds+e[b(s)E(xs)+2b(s)g(s)E(xs)+g(s)]dsQtQt00ts-Qta(z)dz+2e0f(s)dsE(x0).Q
7、t0-ta(s)ds令h(t)=eQt0,y22t=h(t)E(xt),则t2tt2yt=y0+h(s)f(s)ds+b(s)ysds+2E(x0)h(s)b(s)g(s)dsQtQtQt000tstt22+2h(s)b(s)g(s)h(z)f(z)dz+h(s)g(s)ds+2E(x0)h(s)f(s)ds.Qt0Qt0Qt0Qt0记t2ttsG(t)=h(s)f(s)ds+2E(x0)h(s)b(s)g(s)ds+2h(s)b(s)g(s)h(z)f(z)dzQt0Qt0Qt0Qt0tt22+h(s)g(
8、s)ds+2E(x0)h(s)f(s)ds,QtQt00t2则yt=y0+b(s)ysds+G(t),因此Qt0dyt2=b(t)yt+Gc(t),dt其中tta(z)dzta(s)ds2eQsf(s)ds+2E(xQt0Gc(t)=h(t)2f(t)0)b(t)g(t)eQt0ttta(z)dza(s)ds+2b(t)g(t)eQsf(s)ds+2E(xQt020)f(t)e+g(t).Qt0进一
