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1、利用“降阶法”求解欧拉方程【摘要】本文通过“降阶法”研究了三阶非齐次欧拉方程的求解问题，给岀了通解的积分形式，并通过具体例题来说明求解的方法和步骤.【关键词】欧拉方程；降阶法；特征方程；特征值【基金项目】2015年唐山师范学院教育教学改革研究项目一一《常微分方程》课程教学改革的研究与实践(2015001018)・欧拉方程是一类很重要的变系数微分方程，对于它的求解一直是研究的重点•可以发现，対于非齐次欧拉方程的求解主耍有两种方法，但计算步骤较烦琐，而且计算量也很大，本文以三阶非齐次欧拉方程为例，通过对
2、未知函数进行合适的变换，进而降低方程的阶数，并得到其通解的积分形式，而且此方法可以推广到更高阶的非齐次欧拉方程.定义1形如x3y+ax2yrf+bxy‘+cy=f(x)(1)的方程称为三阶非齐次欧拉方程，其中a,b,ceR,f(x)是连续函数.定义2形如x3y+ax2y"+bxy‘+cy二0(2)的方程称为三阶齐次欧拉方程，且方程(2)称为対应于方程(1)的齐次欧拉方程•通过对比可以发现，当方程(1)中的自由项f(x)三0时,便为方程(2)•定义3称方程k(k~l)(k~2)+ak(k~l)+bk+
3、c二0(3)为方程(2)的特征方程，方程(3)的根称为方程(2)的特征根•方程(2)的特征根对应它的某个特解.定理1若在方程(1)+c=0,且kl,k2满足方程：k(k-l)+ak+b二0,?t方程(1)的通解为y=fxklfxk2-kl~lfx-k2~2f(x)dxdxdx,英中通解中的三个相互独立的常数包含在三个不定积分中.证明当c二0时，方程(1)变为x3y+ax2y"+bxy‘=f(x),上式为可降阶的三阶方程，做函数变换，令z=yz,则上述方程等价于x2z"+axz‘+bz二xTf(x),
4、(4)方程(4)的通解为z二xklfxk2-kl-lfx-k2~2f(x)dxdx,因此，方程(1)的通解为y=fxklfxk2-kl~lfx-k2~2f(x)dxdxdx,其中通解中的三个相互独立的常数包含在三个不定积分中.定理2若在方程(1)中cHO且yO(x)二xkO是满足方程(2)的非零实特解，kl,k2满足方程k(k-l)+(3k0+a)k+[3k20+(2a-3)kO+b]二0,则方程(1)的通解为y=xkOfxklfxk2-klTfx-k2-k0-2f(x)dxdxdx,其中通解中的三
5、个相互独立的常数包含在三个不定积分中.证明因为yO(x)二xkO是方程(1)的非零特解，做函数变换y二xkOjudx,并代入方程(1)中，整理后可得：x2u"+(3k0+a)xu‘+[3k20+(2a~3)kO+b]u二x-kOTf(x),显然方程(1)降低一阶，且上式为关于u的二阶非齐次欧拉方程，结合已知条件与定理1的证明可知，u=xklfxk2-kl~lfx-k2-k0~2f(x)dxdx,即方程(1)的通解为：y=xkOfxklfxk2-klTfx-k2-kO-2f(x)dxdxdx,其中通解
6、中的三个相互独立的常数包含在三个不定积分中.下面通过具体例题来说明如何利用定理1和定理2来求解非齐次欧拉方程.例1求方程x3y-x2y"+2xy‘-2y二2x3的通解.解显然，y二x是对应的齐次欧拉方程的非零实特解，即kO=l,将各系数代入k(k-1)+(3k0+a)k+[3k20+(2a~3)kO+b]二0,得到k(k-1)+2k=0,解得k>0,k2=-l,乂f(x)二2x3,则根据定理2,原方程的通解为y=xfxklfxk2-klTfx-k2~3f(x)dxdxdx二xl2x2-clIn
7、x
8、
9、+c2x+c3・例2求方程x3y+2xy‘~2x=x(x>0)的通解.解显然，y二x是对应的齐次欧拉方程的非零实特解，即k0=l,将各系数代入k(k-1)+(3k0+a)k+[3k20+(2a~3)kO+b]二0,解得kl二-l+i,k2=-l-i,乂f(x)二x,则由定理2,原方程的通解为y=xk0k2~klfxk2fx-k2~k0-2f(x)dx-xklfx-kl-k0~2f(x)dxdx,(5)再根据欧拉公式ea+iP=ea(cosB+isinB),得到xk2=x-l+i=x-l[cos(ln
10、x)+isin(lnx)],xk3二xT-i二xT[cos(lnx)-isin(lnx)],并将英代入(5)式中，则原方程的通解为y二x(Inx-clcos(lnx)+c2sin(lnx)+c3)・
