简化常数变易法求解二阶欧拉方程.pdf

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1、第21卷第2期大学数学VO1.21!N.22OO5年4月COLLEGEMATHEMATICSApr.2OO5简化常数变易法求解二阶欧拉方程胡劲松1!郑克龙21.西华大学数学系四川成都61OO392.西南科技大学理学院四川绵阳621OO2!摘要"将常数变易法求二阶非齐次欧拉方程特解的过程进行了简化从而得出了求二阶欧拉方程的通解的一般公式.此方法简单运算量小.!关键词"常数变易法欧拉方程通解!中图分类号"O175.1!文献标识码"C!文章编号"1672-1454#2OO5$O2-O116-O41引言1-2欧拉方程是一类特殊的变系数微分方程文中介绍的函数变换法或双变换法都可以对其求解.3-

2、4而在教材里则是通过变量代换法将欧拉方程转化为常系数线性微分方程来求解的.本文我们将用常数变易法来求二阶非齐次欧拉方程2J$H+aJ$,+b$=fJ1其中ab为已知实常数fJ为已知实函数的通解且在方程1的解中只设一个待定的函数然后通过积分给出方程1的求解公式.此方法比一般教材里介绍的关于求解线性微分方程的常数变易法更简单运算量更小.而且当fJ=O时此方法就是对二阶齐次欧拉方程2J$H+aJ$,+b$=O2求通解.2具体解法根据方程2的特点和幂函数求导的性质我们用幂函数$=JT来尝试看能否选取适当的常数T使得$=JT就是方程2的解.对$=JT求一二阶导数并代入方程2得T2TTT2T-T

3、J+aTJ+bJ=O或T+a-1T+bJ=O消去JT有2T+a-1T+b=O.35定义以T为未知数的一元二次代数方程3称为二阶齐次欧拉方程2的特征方程.其特征方5程3的根称为方程2的特征根.此时有如下结论定理1设T是方程2的特征根则方程1的通解为1T_2T+aT+a_2111$=JiJiJfJdJdJ.4TT证根据条件知$=CJ1是方程2的解C为任意常数设$=CJJ1是方程1的解其中!收稿日期"2OO4-O3-16第2期胡劲松!等"简化常数变易法求解二阶欧拉方程117C是待定的未知函数>,将其求一.二阶导数并代入方程<1>,整理得T+2T+1T112T]J1JCH

4、>+<2T1+a>JC,+[T1+1+bC=f.<5>因为T是方程<2>的特征根,则12TT1+1+b=O.于是<5>式即为--11CH+<2T1+a>JC,=Jf.这是以C为未知函数的可降阶的二阶线性微分方程,解之得_<2T+a>T+a_211C=i[JiJfdJ]dJ,则<4>式是方程<1>的通解.<其中C含有两个相对独立的任意常数>.由此可见,当<4>式中的积分可积时,我们可以通过两次积分求出方程<1>的通解.为了方便该方法的应用,我们用分部积分将方程<1>的通解<4>转化为两个单次积分的差,于是有

5、定理2设T是方程<2>的特征根,则1当T是方程<2>的特征单实根时,方程<1>的通解为11T1_T1_11_a_T1T1+a_2$=[JJfdJ_JJfdJ].2T1+a-1ii当T是方程<2>的特征单虚根时,方程<1>的通解为1J__1__1$=[sin<1nJi>JcOs<1nJ>fdJ_cOs<1nJi>Jsin<1nJ>fdJ]1-a12<其中=,=4b->.22当T是方程<2>的特征重根时,方程<1>的通解为1T_T_1_T_1111$=J[1nJiJfdJ_i1nJ-JfdJ].证当T是方程<2

6、>的特征单根时<2T>,将<4>式分部积分,有11+a#1T1J1_<2T1+a>T1+a_2_T1_1$=[JJfdJ_JfdJ]1-<2T1+a>ii1T1_T1_11_a_TT1+a_2=[JJfdJ_J1JfdJ].<6>2T1+a-1ii当T是方程<2>的特征单虚根时,此时特征方程<3>有一对共轭虚根121-aii4b-T1,2=,21-a12令=,=4b-,将T1=+i代入<6>式,并利用欧拉公式22ii1nJJ=e=cOs<1nJ>+isin<1nJ>有1+i__1_i_i__1+i$=[JJfdJ_JJf<

7、J>dJ]2iiiJ__1__1=[2isin<1nJ>JcOs<1nJ>fdJ_2icOs<1nJ>Jsin<1nJ>fdJ]2iiiJ__1__1=[sin<1nJi>JcOs<1nJ>fdJ_cOs<1nJi>Jsin<1nJ>fdJ]证明过程同.略3举例例1求方程J262的通解.$H-5J$,+8$=JcOsJ118大学数学第21卷解该欧拉方程所对应的齐次方程的特征方程为T2-6T+8=O,特征根为T1=2,