2.4--欧拉运动方程及其积分

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1、在流场中划出一块三边分别的为dx，dy，dz的微元矩形六面体。不计粘性力，表面力就没有切向力，仅有法向力（压力）一种，而彻体力是可以有的。xyz·Pdxdydz欧拉运动微分方程组是在不计流体粘性前提下推导出来的，该方程实质上是微分形式的动量方程。2.4欧拉运动方程及其积分2.4.1欧拉运动方程六面体体积：dτ=dxdydz中心点坐标：x,y,z中心点速度：vx,vy,vz中心点加速度：中心点压强：p中心点密度：ρ中心点处沿三个方向的单位质量彻体力：fx,fy,fzxyz·Pdxdydz2.4.1欧拉

2、运动方程x方向的表面力为：x方向的彻体力为：牛顿定律：x方向合外力等于质量乘以x方向加速度，得2.4.1欧拉运动方程两边同除以微元体积dxdydz，令其趋于零，并代入加速度的表达，得同理可以写出y和z方向的表达：这就是笛卡尔坐标系下理想流体的欧拉方程。2.4.1欧拉运动方程欧拉方程规定了理想流的压强变化与速度变化和彻体力之间的关系。如果在欧拉运动方程中考虑粘性项欧拉方程的向量形式为：2.4.1欧拉运动方程向量形式2.4.1欧拉运动方程理想流欧拉方程还可以有另一种表达形式。把加速度的迁移部分改写一下，

3、把迁移加速度部分改写一下：式中V是合速，另两个迁移加速度也可以改为类似的式子：得如下形式的理想流欧拉方程称为“格罗米柯－兰姆方程”：该形式好处是在方程中显示了旋转角速度，便于分析无旋流动。2.4.1欧拉运动方程直匀流对机翼的绕流例.在海平面上，直匀流流过一个机翼，远前方直匀流的静压p＝p∞＝101200牛/米2，流速=100米/秒。已知A，B，C三点的速度分别是VA=0，VB=150米/秒，VC=50米/秒，空气在海平面的ρ=1.255千克/米3。假设流动无旋，求A、B、C三点的压强。2.4欧拉运动

4、方程于是：解:流动无旋，伯努利常数全流场通用。由远前方条件得：2.4欧拉运动方程2.5环量与涡2.5.1环量与涡的概念研究流动的问题，还有两个极重要的概念:环量和涡。环量的定义：在流场中任取一条封闭曲线，速度沿该封闭曲线的线积分称为该封闭曲线的速度环量。速度环量的符号不仅决定于流场的速度方向，而且与封闭曲线的绕行方向有关，规定积分时逆时针绕行方向为正，即封闭曲线所包围的区域总在行进方向的左侧。如果把一个速度向量分成三个坐标轴方向的三个分量vx,vy,vz,把线段ds也分解成dx,dy,dz三个方向：

5、沿曲线AB作速度的线积分沿闭曲线速度的线积分于是环量表达式为：2.5.1环量与涡的概念如果流动是无旋的，存在速度势函数Φ，那末上式中的vx,vy,vz都可以用Φ的偏导数表达：说明在无旋流动中，沿着任意一条封闭曲线的速度环量均等于零。但是对有旋流动，上述结论并不成立，绕任意一条封闭曲线的速度环量一般不等于零。2.5.1环量与涡的概念旋转轴线都按右手定则确定。涡量概念是指流场中微团角速度之二倍，如平面问题中的2ωz，称为涡量，涡量是个纯运动学的概念。在三维流里，流体微团可以有三个方向的角速度ωx,ωy,

6、ωz,三者合为一个合角速度是：§2.5.1环量与涡的概念像流线一样，在同一瞬时，如在流场中有一条曲线，该线上每一点的涡轴线都与曲线相切，这条曲线叫涡线。涡线的微分方程是（给定时刻，t为参量）：涡线给定瞬间，通过某一曲线（本身不是涡线）的所有涡线构成的曲面称为涡面。由封闭涡面组成的管状涡面称为涡管。涡面涡管2.5.2涡线与涡管在三维空间问题中，涡通量就是：式中的S是任意形状空间曲面，γ是曲面上微面积dS的法线和ω的轴线之间的夹角。nγ空间问题的涡通量平面问题的涡通量涡线是截面积趋于零的涡管。涡线和涡管

7、的强度都定义为绕涡线或涡管的一条封闭围线的环量。涡量在一个截面上的面积分称为涡通量，在平面问题中，涡通量就是：§2.5.1环量与涡的概念在有旋流动中，速度环量与涡量存在着十分密切的联系。为说明这个联系，首先考察二维流场。§2.5.2环量与涡量的关系在二维流场中，任取封闭曲线，然后把该封闭曲线所围成的面积用两组坐标的平行线分割成一系列微小面积，做每一块微小面积的速度环量并求和，得到总的速度环量。对于微元ABCD，速度环量为§2.5.2环量与涡量的关系绕整个封闭曲线的速度环量为（上图中微元矩形块的重合部

8、分做线积分时因正负号相反而相消）上式即为二维问题中的格林公式。表明：沿平面上一封闭围线L做速度的线积分，所得的环量等于曲线所围面积上每个微团角速度的2倍乘以微团面积之和，即等于通过面积S的涡通量。§2.5.2环量与涡量的关系如果围线内没有涡通量，那末沿围线的环量必是零。如果把围线放大一些，尽管面积放大了，但只要包进去的面积里没有涡通量，那么环量值并不会改变。推广到三维空间中的封闭曲线L上，计算的速度环量仍等于二倍角速度乘围线所包的面积，但这面积应取其在与涡线相垂直的平