欧拉积分及其应用

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1、欧拉积分及其应用摘要:Beta函数与Gamma函数是数学分析中两个重要的积分，灵活应用这两个积分可以很好的解决数学计算中的一些问题，本文重点阐述了Beta函数、Gamma函数的性质和关关系，通过举一些典型的例子来说明他们的应用.关键词:Gamma函数；Beta函数；含参量积分Abstract:BetafunctionandGammafunctionisamathematicalanalysisoftwoimportantpoints,flexibleapplicationofthesetwopoin

2、tscansolvesomeproblemsinmathematicalcalculations,thispaperfocusesontheBetafunction,Gammafunction,thenatureandrelationship,throughthegivesomeAtypicalexampletoillustratetheirapplication.KeyWords:TheGammafunction;TheBetafunction;Containtheparameterintegra

3、l引言欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界作出贡献，更把数学推至几乎整个物理的领域.欧拉对数学的研究如此广泛，因此在许多数学的分支中也可经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理.欧拉(euler)积分是其重要贡献之一，它广义积分定义的特殊函数，在概率论与数理统计及数理方程等学科中经常用到，本文重点阐述Beta函数、Gamma函数的性质，揭示二者所具有的关系及在数学分析、概率统计等学科中的应用，从而使复杂的题目有了更简单易懂的解决方法，同时这也揭示了数学的不同学科之间的密切联系，在

4、提高解题能力的同时，也加深对数学的理解和应用.称为贝塔（Beta）函数，（或写作函数）.称为格马（Gamma）函数，（或写作函数）.10贝塔函数与格马函数在应用中经常出现，它们统称为欧拉积分，前者是第一类欧拉积分，后者是第二类欧拉积分.1.函数及其相关性质1.1函数的定义域=，当时为瑕点，当时为瑕点，定义域为任何，在内，一致收敛，故函数在定义域内连续.1.2函数的性质性质1.2.1(对称性).作变换，==.性质1.2.2（递推公式）=,，（1），，（2），.（3）当时，有==+===，10移项整理即

5、得（1）.公式（2）可由对称性及公式（1)推得，而公式（3）则可由公式（1），（2）推得.性质1.2.3（其他形式）在应用上，也常以如下形式出现(1)令，则有=；(2)令,则有==；(3)考察.令，则有==.2.函数及其相关性质2.1函数的定义域，1、积分区间为无穷；2、当时，为瑕点；3、当时，收敛.写函数为如下两积分之和：=，其中，.当时，为正常积分；当时，为收敛的无界函数反常积分.对任何实数，都是收敛的，特别是时收敛.所以，函数在时收敛.102.2函数的性质性质2.2.1对任意，且.性质2.2.

6、2对任意成立.证明有分部积分法得：==+=.性质2.2.3是上的凸函数.证明只要证明对，=1，，有不等式+.事实上，由Holder不等式即得===，性质得证.出乎意料的是，函数的以上三条性质完全确定了函数.这就是说，任意定义在上的函数，如果具有上面三条性质，那么它一定是函数.这个意想不到的结果是由Bohr和Mollerup首先发现的.性质2.2.4（图像）设，即，应用性质2可得到（1）若为正整数，则（1）式可以写成.（2）对一切，和恒大于0，因此的图形位于10轴上方，且是向下凸的.因为，所以在上存在

7、唯一的极小点且.又在内严格减；在内严格增.由于==（）及，故有.由（2）式及在上严格增可推得.综上所述，函数的图像如下图部分所示.性质2.2.5（延拓）改写递推公式为.当时，有意义，于是可应用它来定义左端函数在内的值，并且可推得这时.用同样的方法，利用已在内有定义这一事实，由又可定义在内的值，而且这时.依此下去可把延拓到整个数轴（除以外），其图像如上图所示.性质2.2.6（其他形式）在应用上，也常以如下形式出现(1)令，则有=；10(2)令，可得=.3.函数与函数的关系当为正整数时，反复应用函数的递

8、推公式可得=.又由于，所以，即.对于任何实数也有关系式：.4.欧拉积分的应用4.1欧拉积分在定积分中的应用例1计算积分，.分析这道题目被积函数形式复杂，若变化技巧使用不当，则导致计算过程极为复杂，甚至无从下手.这里，我们不妨转化为欧拉积分计算.解令，则有.10利用三角恒等式可得，，.将其代入原式得.4.2欧拉积分在级数计算中的应用例2计算级数的和.分析这是一道级数的计算问题，采用普通方法计算，其过程将会很复杂，我们可以利用欧拉积分试一试.解===10由于当时，，所以因