欧拉积分与应用.doc

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1、欧拉积分及其简单应用引言：我们知道无穷级数是构造新函数的一种重要工具，利用它我们可以构造出处处连续而处处不可微的函数，还可以构造出能填满正方形的连续曲线（参见常庚哲、史济怀著《数学分析教程》第三册第17章§17.8）含参量积分是构造新函数的另一重要工具，欧拉积分就是在应用中经常出现的含参量积分表示的函数。它虽身为含参量积分的一种特例，被教科书编用于加深对含参量积分所表示的函数的分析方法的理解。但本身也是许多积分的抽象概括，能为相关积分的计算带来方便。欧拉积分包括：伽马（Gamma）函数：Γ(s)=,s>0.-----------（1）贝塔（Beta）函数：B(p，q)=，p>0,q>0

2、-------------（2）下面我们分别讨论这两个函数的性质：一、B函数…………………Euler第一积分1、定义域：B(p，q)==+=+对=当x→0时.==其收敛须p>0对=.当x→1时，=,令.1-x=t==其收敛须.q>0.B(p，q)定义域为p>0,q>0.2、连续性因为对p。>0，q。>0有≤p≥p。,q≥q。而收敛，故由尔斯特拉斯M判别法知B(p，q)在p。≤p<+∞,q。≤q<+∞，上一致收敛，因而推得B(p，q)在p>0,q>0连续。1、对称性B(p，q)=B(p，q)作变换x=1-y,得B(p，q)===B(q，p)2、递推公式B(p，q)=B(p，q-1)(p>

3、0,q>1)……………(1)B(p，q)=B(p-1，q)(p>1,q>0)……..(2)B(p，q)=B(p-1，q-1)(p>1,q>1)…………(3)B(p，q)=B(p+1，q)+B(p，q+1)(p>-1,q>-1)…….(4)下面只证明(1)；(2)可由对称性及公式(1)推出；(3)、(4)可由公式(1).、(2.推得；当P>0,q>1时，有B(p，q)===+==−=B(p，q−1)−B(p，q)移项并整理得(1)3、B(p，q)的其他形式a,令x=则B(p，q)=2特别的当p=q=,B(p，q)=B(，)=b.令x=当x:0→1有t:+∞→0B(p，q)===+考察,令

4、t=,则有=−=.∴B(p，q)=二、Γ函数………………Euler第二积分1、定义域Γ(s)==+=+其中=,当s≥1时是正常积分；当00时是收敛的无穷限反常积分（也可用柯西判别法推得）；所以，Γ函数在s>0时收敛，即定义域为s>0.2、连续性在任何闭区间[a，b](a>0)上，对，当00上连续3、可微性==（利用狄利克雷判别法）它在任何闭区间[a，b](a>0)上一致收敛.∴Γ(s

5、)在[a，b]上可导.由a，b的任意性，Γ(s)在s>0上可导，且Γ’(s)=s>0.依照上面的方法，还可推得Γ(s)在s>0上存在任意阶导数：(s)=.s>0.4、递推公式Γ(s+1)=sΓ(s)证：分部积分法=+=+设A→+∞，就得到Γ(s)的递推公式：Γ(s+1)=sΓ(s)设n

6、）！（2）．如果已知Γ（s）在0

7、q)再由Β函数其他形式（a）就得到Β(p,q)Γ(p+q)四、在计算积分之中的应用1、积分值计算：例1、解：原式===参考文献：【1】、华东师大学数学系，《数学分析》[M]，(上，下册)：高等教育2007【2】、铁木编著《分析提纲与命题证明》[M]，（第二册）：宇航，1986【3】、费定辉，周学圣等，吉米多维奇数学分析习题集题解（五）[M]，：科学技术，1999【4】　裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].:高等教育,1993.【5】Γ.Μ