欧拉积分答案.pdf

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1、欧拉积分答案1、利用欧拉积分计算下列积分1??(1)∫01√1−?41√24解：法1：令t=1−?4,则x=(1−?),1??14(1−?2)3∗(−2?)??∫=−∫010?√1−?41128=8∫(1−?2)3??=35014法2：令t=?4,则x=?,1??11−3∫=∫(1−?)24???010√1−?41=4Β(4,)21Γ(4)Γ(2)6∗√?128=4=4∗=97∗5∗335Γ(2)4√?21(2)∫√?−?2??01111解：∫√?−?2??=∫?2(1−?)2??00331133Γ(2)Γ(2)2√?∗2√??=Β(,)===22Γ(3)281(3)

2、∫√?3(1−√?)??0解：令√x=?,则x=?21111∫√?3(1−√?)??=2∫?4(1−?)2??=2Β(5,)2004!∗√?512=2=9∗7∗5∗33155√?2(4)∫??2√?2−?2??(a>0)0?解：令t=，则x=at,??11∫?2√?2−?2??=∫(??)2?√1−?2∗???=?4∫?2√1−?2??000令?2=?，则x=√?,1111?4∫?2√1−?2??=?4∫?2√1−???20033111331Γ(2)Γ(2)12√?∗2√??=?4Β(,)=?4=?4=?42222Γ(3)2216?(5)∫2???6????4???0

3、解：对∫1??−1(1−?)?−1??，令x=???2?，则0?12∫??−1(1−?)?−1??=2∫???2?−1????2?−1???0075令2a−1=6，2b−1=4，则，a=，b=，22?2117564−1−1∫??????????=∫?2(1−?)2??200755∗331751Γ(2)Γ(2)123√?∗22√?3=Β(,)==∗=?2222Γ(6)25!512+∞??(6)∫01+?4111令=?，则x=(1−)4,1+?4?3+∞1−??1141∫=−∫?∗(1−)∗(−)??1+?44??2001113−−=∫?4(1−?)4??40311311

4、Γ(4)Γ(4)1?√2=Β(,)==?=π4444Γ(1)4???44?余元公式：Γ(x)Γ(1−x)=?????(7)∫+∞?2??−?2??0解：令?2=?，则t=√?+∞+∞1∫?2??−?2??=∫???−?∗??002√?1+∞111(2?−1)‼?−−?=∫?2???=Γ(?+)=√?2222?+10???(8)∫0√3−?????1解：√3−????=√3−(1−2???2)=√2(1+???2?)222令???2?=t，则x=2arcsin√?,2??????∫=∫10√3−????0?2√2(1+???2)2111∗??1√1−?√?√2112−−

5、=∫=∫(1−?)2?2??120√2(1+?)20令?2=?，则x=√?√2111√211112−−−−∫(1−?)2?2??=∫(1−?)2?4∗??20202√?√2113√211−−=∫(1−?)2?4??=Β(,)44240?(9)∫2???2????0解：对∫1??−1(1−?)?−1??，令x=???2?，则0?12∫??−1(1−?)?−1??=2∫???2?−1????2?−1???0011令2a−1=2n，2b−1=0，则，a=n+，b=，22?121112??+−1−1∫??????=∫?2(1−?)2??200(2?−1)‼1112??(2?−

6、1)‼?!=Β(n+,)==π222?!2?+1(10)∫1??(ln1)?−1??0?1−?解：令ln=t，则x=?,?11?−10∫??(ln)??=−∫?−????−1?−????0+∞+∞=∫?−?(?+1)??−1??0+∞−?(?+1)?−1+∞?−1若m+1≤0,∫????≥∫???(极限趋于无穷)00故原极限不存在?若m+≥0,令?(?+1)=x，则t=,?+1+∞1+∞∫?−?(?+1)??−1??=∫?−???−1??(?+1)?001=(?−1)!(?+1)?2、将下列积分用欧拉积分表示，并求出积分的存在域+∞??−1(1)∫??02+??11?

7、−1解：令?=?，则dx=??????−11?+∞??−11+∞??+?−11+∞??−1∫??=∫??=∫??2+???2+??2+?000??令=?,?=22+t1−????1+∞??−111??−1∗2?−22∫??=∫?∗2???2+??−2(1−?)00(1−?)??−112???−?−1−1=∫??(1−?)????0??−?此Β−函数的存在域为>0及>0,即0m>n??????−??2?−11??−?2?−1Γ()Γ()2?−1?−1−1??∫??(1−?)???==???0?Γ(1)?????1??(2)∫0?√1−??