欧拉积分的计算.pdf

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1、自然科学重庆三峡学院学报——JOURNALOFCHONGQINGTHREE-GORGESUNIVERSITY2001年增刊第17卷——Sup.2001Vol.17.欧拉积分的计算陈文英（重庆三峡学院计算机科学系，重庆万州404000）摘要：利用函数展开成幂级数的方法计算欧拉积分。关键词：欧拉积分；幂级数；计算中图分类号：O173.5文献标识码：B文章编号：1008-4347(2001)Sup-0167-02以下三个积分是大家熟知的欧拉积分：21ln(1-x)1ln(1+x)1ln(1+x)I=d==1ò0xxI2ò0xdx

2、I3ò0xdx本文利用注（1）的结果：111p22111p2111p1++++L=；+++L=；1-+-+L=22222222223462462423412给出欧拉积分的简单计算12n解=1+x+x+L+x+L(-1

3、ö(-1£x£1)ò0dx=-ççx+2x+2x+L+2x+L÷÷xè23(n+1)ø21ln(1-x)æ1111öp所以==-ç1++++L++L÷=-I1ò0xdxè223242n2ø6ln(1-x)ln(1+x)在的展开式中，将x换成-x,得的展开式xxn-1ln(1+x)=1-1x+1x2-L+(-1)x(n-1)+L(-1

4、67-自然科学23n-1xln(1+x)xx(-1)nd=x-+-L+x+L(-1£x£1)ò0xx2232n2n-121ln(1+x)11(-1)p所以==1-++L++L=I2ò0xdx2232n2122ln(1+x)2ln(1+x)在的展开式中将x换成x得的展开式xx2n-1ln(1+x)1315(-1)2n-1=x-x+x-L+x+L(-1£x£1)x23n(2)ln1+x（定义在x=0处的函数值为它在x=0处的极限值）x2n-1xln(1+x)121416(-1)2nòd=x-x+x-L+x+L(-1£x£1)0

5、xx24´26´32n×næ46()n-1ö12xx-12n=çx-+-L+x+L÷(-1£x£1)2ç2232n2÷èø2n-11p2p21ln(1+x)1æ11(-1)ö所以I===ç1-+-L++L÷=´=3ò0xdx2ç2232n2÷21224èø例用欧拉积分计算下列积分1ln(1-x)1ln(1+x)⑴ò-dx⑵ò-dx1x1x0ln(1-x)0ln(1+t)0ln(1+t)1ln(1+x)解⑴òdx令x=-tò(-dt)=òdt=-òdx-1x1-t1t0x1ln(1-x)0ln(1-x)1ln(1-x)1ln

6、(1+x)1ln(1-x)所以d=d+d=-+ò-1xxò-1xxò0xxò0xdxò0xdx222pæpöp=-+çç-÷÷=-12è6ø40ln(1+x)0ln(1-t)0ln(1-t)1ln(1-x)⑵ò-1dx令x=-tò1(-dt)=ò1dt=-ò0dxx-ttx1ln(1+x)0ln(1+x)1ln(1+x)1ln(1-x)1ln(1+x)所以òdx=òdx+òdx=-òdx+òdx-1x-1x0x0x0x222ppp=+=6124(责任编辑：黄秀山)OnTheComputationofEulerIntegra

7、lChenWen-yingComputerScienceDept,ChongqingThreeGorgesCollege,Wanzhou404000ChongqingAbstract:ThisarticleComputesEulerintegral,Itusesmilpotentseriesmethodofdevelopment.KeyWords:Eulerintegral,milpotentseries.-168-