一类非线性三波耦合方程组的精确解.pdf

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1、第2期华东师范大学学报（自然科学版）No.22003年6月JournaIofEastChinaNormaIUniversity（NaturaIScience）Jun.2003文章编号：1000-564（12003）02-0011-05一类非线性三波耦合方程组的精确解贺秀霞，聂小兵（华东师范大学数学系，上海200062）摘要：用齐次平衡法求出了由纵横波在弹性介质中传播引出的一个非线性耦合方程组的精确解，并分析了其孤波解的实际物理意义。关键词：非线性耦合方程组；齐次平衡法；精确解；色散关系中图分类号：0175.2文献标识码

2、：A三波相互作用方程是为了研究弱非线性极限情况下色散系统的性质而引入的，这种系统由两部分组成［1］：（1）用小振幅展开方法，在最低阶情况，可以得到线性色散关系（）。它必然得到一个共振三元组，即满足以下共振条件的三个线性波：1+2+3=0，1+2+3=0（2）在这展开式的次低阶情况，必然出现二次相互作用，然后长期项就在这阶上出现，除非这三波的慢变振幅满足以下方程组：3a1+（C1·V）a1=i1a2ea3e3a2+（C2·V）a2=i2a3ea1e3a3+（C3·V）a3=i3a1ea2e其中Cj是j处算得的线性化群速度

3、。如果原系统是守恒的，则（1，2，3）是实数，且123S0。在［2］中SaadetErbay研究了纵横波在弹性介质中传播的非线性耦合的偏微分方程组2u2u4u2u2u2u312312（21+）313u1313u2323u333（1）2-cl2+4cTm4=12+2(2+2)3t3x3x3x3x3x3x3x3x2u2u4u223223222323u23u13u13u2（2）2-cT2+4cTm4=2(2+2)3t3x3x3x3x3x3x2u2u4u2u2u3323322333u3313u133（3）2-cT2+4cTm4

4、=2(2+2)3t3x3x3x3x3x3x其中：u代表纵波成分，u，u代表横波成分，x，t分别表示空间坐标和时间坐标，c2123l=（表示纵波的速度，c2表示横波的速度，，是线性弹性常数，A，B，C+2）/0T=/0是二阶弹性常数，，m为表示极小结构的新常数，1=［3（+2）+2（A+3B+C）］/，0，D（，）=2222（21+）4，D（，）=2=（2+4+A+2B）/201-cl-4cTm2（，）=222224分别表示u，u，u的色散关系。SaadetErbay在文［2］中D3-cT-4cTm123利用渐进展开法，

5、推导出了横波自调制方程组和长短波共鸣时的相互作用方程组并列出了某些特解。王明亮等在［3］-［5］中运用并发展了齐次平衡法，得到了一列（如Kdv，收稿日期：2001-04作者简介：贺秀霞（1976-），女，硕士.l2华东师范大学学报（自然科学版）2003年Burgers等）方程的特解。本文采用齐次平衡法，对文［2］中引用上述方程组求出了新的双曲正切型特解，并分析了相应的物理性质。l精确解按照齐次平衡法［2］的步骤，设（m+I（））mI⋯（4）Ul=f!!x!t+（p+g（））pg⋯（5）U2=g!!!xt+（r+S（））

6、rS⋯（6）U3=h!!!xt+其中：f，g，h都为的一元函数，为任意的光滑函数且待定，m，I，p，g，r，S都为待定!!的非负整数。将（4），（5），（6）代入（l），（2），（3），在每个方程中令最高阶导数项和非线性项中，的最高幂次相等得!x!tm+4=2m+3，I=2I，m+4=2p+3，I=2g，m+4=2r+3，I=2S，p+4=p+m+3，r+4=r+m+3；解得m=p=r=l，I=g=S=0由此有Ul=f（l!）!x，U2=g（l!）!x，U3=h（l!）!x，求导得2!Ul22="f（!）!!xt+2f

7、（l!）!x!tt+f（l!）!!xtt+f（l!）!xtt!t!Ul2=f（l!）!x+f（l!）!xx!x2!Ul32="f（!）!x+3f（l!）!!xxx+f（l!）!xxx!x4!Ul（5（））5（4（））324=f!!x+l0f!!!xxx+l5"f（!）!!xxx!x+l0"f（!）!2+l0f（l!）!+5f（l!）!4+f（l!）!5!xxxxx!xxxx!xxx2!U222=g"（!）!!xt+2g（l!）!x!tt+g（l!）!!xtt+g（l!）!xtt!t!U22=g（l!）!x+g（l!）!

8、xx!x2!U232=g"（!）!x+3g（l!）!!xxx+g（l!）!xxx!x4!U2（5（））5（4（））324=g!!x+l0g!!!xxx+l5g"（!）!!xxx!x+l0g"（!）!2+l0g（l!）!+5g（l!）!4+g（l!）!5!xxxxx!xxxx!xxx2!U322=h"（!）!!xt+2h（l!）!x