一类非线性偏微方程的不变集与精确解.pdf

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1、第27卷第2期纺织高校基础科学学报Vo1．27，NO．22014年6月BASICSCIENCESJOURNAL0FTEXTILEUNIVERSITIESJun．，2014文章编号：1006—8341(2014)02—0158—04一类非线性偏微方程的不变集与精确解张亚敏(宝鸡文理学院数学系，陕西宝鸡721013)摘要：不变集方法是一种构造非线性偏微分方程精确解的有效方法．本文利用不变集方法，讨论了一类非线性偏微分方程=A(u)u—+B(u)u。一十C(u)uL+D(u)uZu+P()“+Q()问题，并得到不同系数情况下方程的精确解．此方法也可以用于讨论求解其

2、他非线性方程．关键词：非线性偏微分方程；精确解；伸缩不变集；旋转不变集中图分类号：0175．2文献标识码：A0引言不变集是构造非线性偏微分方程精确解的简便而有效的方法，这方面已有一些有意义的结果n．在文献[1—2]中，Galationov通过引入伸缩不变集5。一{：一F()／x)，讨论了方程“一E(x，，U，，⋯，“)的精确解；在文献[3—4]中屈长征教授和Estevez将伸缩不变集推广为51一{：一去F()+￡F()『exp(一1)j耳dz]}，利用s讨论了一些高阶非线性演化方程的精确解·本文通过建立旋转不变集Eo一{：xF(u)}研究一类非线性偏微方程一

3、A(u)u工+B()“一+C()2+D()+尸()．皿+Q()2的精确解．1非线性偏微方程不变集考虑如下形式的四阶非线性微分方程一A()—+B(u)u一+C(u)uL+D(u)u~u+P(u)u十Q()：．(1)其中，A()，B()，C(“)，D()，P()，Q()为关于的光滑函数．引入旋转不变集Eo一{U：U一xF(“))，其中F是由不变条件(z，0)∈Eo=>(，￡)∈Eo，t∈(0，1)所确定的函数．当∈Eo时，方程有形如j高一专。)(2)的解．由E。得下列式子=zF，===F，一F+z。FF，一===3zFF+35'。(FF)F，(3)收稿日期：20

4、13-04-13基金项目：陕西省教育厅科研计划项目(2013JK0572)；宝鸡文理学院重点项目(ZKll014)作者简介：张亚敏(1978一)，女，陕西省武功县人，宝鸡文理学院讲师．E—mail：bjzhangyamin@126．corn第2期一类非线性偏微方程的不变集与精确解159／A．皿一3FF+6z(FF)F+一E(FF)F]F．(4)假定方程(1)在E0中不变，把式(3)，(4)代入式(1)中，得，￡()一[A[(FF)FJ十B(FF)F+CF。F4-DF。F]+。E6A(FF)十3B(FF)4-2CFF十DF+PF+QF]十[3AF4-CF十P]

5、．(5)由于式(5)左边与z无关，对其两边分别求关于z的偏导数，得0一．z[A[(FF)F]+B(FF)F+CF，2F4-DF。F]F十4x。(A((FF)F)4-B(FF)F+CF。F+DFF)+z。(6A(FF)+3B(FF)+2CFF+DF+PF+QF)F+2scE6A(FF)+3B(FF)+2CFF十DF+PF+QF]+x(3AF：+CF+PF．故方程(1)中系数的约束条件为A[-(FF)F]+B(FF)F+CFF+DFF一0，6A(FF)十3B(FF)+2CFF+DF。+PF+QF一0，3AF+CF+P—C1．其中，h()一Clt十C，C。均为常数

6、．2非线性偏微方程的精确解下面分情况讨论(1)令A一1，F一，B—C一0，则D一一1／乱。，P—C～3，Q：(2+c)／，故方程乱=“—一+(c～3)u+兰_±．有解一C3exp(x。／Z4-C1)．(2)令A=1，F：“，B=D：0，则C一一1／u，P—C1～2，Q一一(2十f1)／u，故方程地一—．一／+(c1—2)一(2+C1)／．有解“一C3exp(x。／2+C1￡)．(3)令A一，F=乱，B—C一0，则D一一一。，P—cl一3，Q一一(2u十c1)／u，故方程m一。一搿甜一搿+(c1—3um)乱懿一(2+C1)“／z‘．有解一C3exp(x／2+C

7、lf)．(4)令A一“，F=，B—D一0，则C一一“一，P=：：c1—2，Q一一2优+c1／，故方程一“—一一+(c1—2um)趣一(2+c1)／．有解一C3exp(x／2+C1f)．(5)令A一，F一“(是≠1)，B—C一0，则D～(2k1)(3k一2)一。，P=c1—3卅扣，Q一一(3k+2)(2k～1)urr~-。一3忌。卅，故方程一urnu～(2k一1)(3k一2)2+(f1—3七m+)～[(3k+2)(2k一1)卅+～一3愚卅扣]有解U一[(1一志)(z。／z十C1t+C2)]川’．(6)令A一m，F一(愚≠1)，B—D：0，则c一一二一，P：c一

8、_二二卅卜，Q一[矗。一(7+c)忌+2]乱_-一4